《二维线性DP》基础概念

原创于 2025-06-19 09:24:22 发布 · 757 阅读

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#动态规划 #算法 #数据结构 #英雄算法联盟 #二维线性DP

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一、算法概述

定义：二维线性动态规划（Dynamic Programming, DP）是指状态由两个变量描述，且状态转移关系呈现线性递推特征的动态规划问题。这类问题通常需要填充二维表格来保存子问题的解，最终通过表格中的值推导出原问题的解。
核心思想：将复杂问题分解为重叠子问题，通过存储子问题的解（状态）避免重复计算，利用状态间的递推关系（状态转移方程）逐步求解。
应用场景：广泛应用于路径规划、序列比对、资源分配、组合优化等问题，如背包问题、最长公共子序列、矩阵链乘法等。

二、算法思路

状态定义：设计合适的二维数组 dp[i][j]，其中 i 和 j 表示问题的两个维度，dp[i][j] 表示对应子问题的解。例如：
- 在数字三角形问题中，dp[i][j] 表示从顶部到第 i 行第 j 列的最大路径和。
- 在网格路径计数问题中，dp[i][j] 表示从起点到第 i 行第 j 列的路径数目。
状态转移方程：根据问题的最优子结构性质，推导出状态间的递推关系。常见的转移形式包括：
- 当前状态由上方和左方状态转移而来：dp[i][j] = f(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
- 当前状态由上方、左方和左上方状态转移而来：dp[i][j] = f(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1])。
边界条件：初始化边界状态的值，通常是第一行和第一列的状态，或某些特殊位置的状态。
遍历顺序：根据状态转移方程的依赖关系，确定合适的遍历顺序，确保计算当前状态时所需的所有前驱状态已被计算。

三、伪代码实现

1. 数字三角形最大路径和

算法：数字三角形最大路径和
输入：数字三角形 mat[0..n-1][0..i]（i为当前行索引）
输出：从顶部到底部的最大路径和

function maxPathSum(n, mat):
    创建二维数组 dp[0..n-1][0..n-1]
    
    // 初始化顶部元素
    dp[0][0] = mat[0][0]
    
    // 处理边界：每行的第一个和最后一个元素
    for i from 1 to n-1:
        dp[i][0] = mat[i][0] + dp[i-1][0]  // 第一列只能从上一行下来
        dp[i][i] = mat[i][i] + dp[i-1][i-1]  // 对角线只能从左上过来
    
    // 处理中间元素
    for i from 1 to n-1:
        for j from 1 to i-1:
            dp[i][j] = mat[i][j] + max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j])
    
    // 找到最后一行的最大值
    maxSum = dp[n-1][0]
    for i from 1 to n-1:
        if dp[n-1][i] > maxSum:
            maxSum = dp[n-1][i]
    
    return maxSum

// 主程序
输入 n
输入数字三角形 mat
输出 maxPathSum(n, mat)

2. 网格路径计数（带障碍物）

算法：网格路径计数（带障碍物）
输入：n×n网格 s[0..n-1][0..n-1]（'*'表示障碍物）
输出：从左上角到右下角的路径数目（结果对 mod 取余）

function pathCount(n, s):
    常量 mod = 1000000007
    创建二维数组 dp[0..n-1][0..n-1]
    
    for i from 0 to n-1:
        for j from 0 to n-1:
            if s[i][j] == '*':
                dp[i][j] = 0  // 障碍物处无法到达
            else:
                if i == 0 and j == 0:
                    dp[i][j] = 1  // 起点初始化为1
                else if i == 0:  // 第一行只能从左边来
                    dp[i][j] = dp[i][j-1]
                else if j == 0:  // 第一列只能从上边来
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]
                else:  // 中间位置可以从上方或左方来
                    dp[i][j] = (dp[i-1][j] + dp[i][j-1]) % mod
    
    return dp[n-1][n-1]

// 主程序
输入 n
输入网格 s
输出 pathCount(n, s)

四、算法解释

1. 数字三角形最大路径和

状态定义：dp[i][j] 表示从顶部到第 i 行第 j 列的最大路径和。
转移方程：对于非边界位置，dp[i][j] = mat[i][j] + max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j])，即当前位置的最大路径和等于当前值加上上方或左上方的较大值。
边界处理：第一列和对角线元素只能从特定方向转移而来，需单独处理。