[CF785D]Anton and School - 2

最新推荐文章于 2021-09-13 17:06:23 发布

WerKeyTom_FTD

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分类专栏：排列组合

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本文介绍了一种算法，用于计算一个给定括号序列中所有非空子序列作为回文合法括号序列的数量。通过枚举最后一个左括号的位置，并结合组合数学的方法，最终给出了一种高效的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

一个括号序列，问有多少非空子序列是回文合法括号序（这个回文是几何回文，如(())）。

瞎做

可以枚举最后一个左括号，假如它左边有A个左括号，右边有B个右括号。
贡献为 $\sum C_A^{t-1}*C_B^t=\sum C_A^{t-1}*C_B^{B-t}$
从组合数的意义去考虑，相当于从A+B个数中选B-1个数。
也可以这样考虑。
$(1+x)^n=\sum C_n^ix^i$
因此这个就是 $[x^{B-1}](1+x)^A*(1+x)^B=C_{A+B}^{B-1}$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=200000+10,mo=1000000007;
int fac[maxn],inv[maxn];
char s[maxn];
int i,j,k,l,t,n,m,x,y,ans;
int quicksortmi(int x,int y){
    if (!y) return 1;
    int t=quicksortmi(x,y/2);
    t=(ll)t*t%mo;
    if (y%2) t=(ll)t*x%mo;
    return t;
}
int C(int n,int m){
    if (n<m||m<0) return 0;
    return (ll)fac[n]*inv[m]%mo*inv[n-m]%mo;
}
int main(){
    scanf("%s",s+1);
    n=strlen(s+1);
    fac[0]=1;
    fo(i,1,n) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mo;
    inv[n]=quicksortmi(fac[n],mo-2)%mo;
    fd(i,n-1,0) inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%mo;
    fo(i,1,n) y+=(s[i]==')');
    fo(i,1,n){
        if (s[i]=='('){
            (ans+=C(x+y,y-1))%=mo;
            x++;
        }
        else y--;
    }
    (ans+=mo)%=mo;
    printf("%d\n",ans);
}