[51nod 1527]城堡迷阵

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树形动规

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本文介绍了一种使用树形动态规划解决特定问题的方法，通过定义子树游历时间和节点间边的权值，利用偏序性确定访问顺序，最终实现nlogn的复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

链接

偏序性

设num表示一个子树游历完的时间，f表示一个节点连往父亲的边的权值。g表示一颗子树根节点认为是时刻0，游历整个子树的最小t值和。
对于相邻两个游历儿子y和z，交换y和z不会更优的条件（假设这时经过了t的时间）：
$(t+f[y])*size[y]+g[y]+(t+f[y]*2+num[y]+f[z])*size[z]+g[z]<(t+f[z])*size[z]+g[z]+(t+f[z]*2+num[z]+f[y])*size[y]+g[y]$
化简得到偏序关系
$size[y]/(2*f[y]+num[y])>size[z]/(2*f[z]+num[z])$
因此可以根据偏序关系来确定儿子的访问前后顺序，然后树形DP即可。
复杂度n log n。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int maxn=100000+10;
struct dong{
    int id;
    db x;
} a[maxn];
ll g[maxn];
int size[maxn],f[maxn],num[maxn],h[maxn],go[maxn*2],next[maxn*2],dis[maxn*2];
int i,j,k,l,t,n,m,tot,top;
void add(int x,int y,int z){
    go[++tot]=y;
    dis[tot]=l;
    next[tot]=h[x];
    h[x]=tot;
}
bool cmp(dong a,dong b){
    return a.x>b.x;
}
void dfs(int x,int y){
    int t=h[x];
    size[x]=1;
    while (t){
        if (go[t]!=y){
            f[go[t]]=dis[t];
            dfs(go[t],x);
            size[x]+=size[go[t]];
            num[x]+=num[go[t]]+dis[t]*2;
        }
        t=next[t];
    }
    top=0;
    t=h[x];
    while (t){
        if (go[t]!=y){
            a[++top].id=go[t];
            a[top].x=(db)size[go[t]]/(2*(ll)f[go[t]]+num[go[t]]);
        }
        t=next[t];
    }
    sort(a+1,a+top+1,cmp);
    int i;
    t=0;
    fo(i,1,top){
        g[x]+=g[a[i].id]+(ll)size[a[i].id]*(t+f[a[i].id]);
        t+=num[a[i].id]+f[a[i].id]*2;
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n-1){
        scanf("%d%d%d",&j,&k,&l);
        add(j,k,l);add(k,j,l);
    }
    dfs(1,0);
    printf("%lld\n",g[1]);
}