随机游走

题目描述

YJC最近在学习图的有关知识。今天，他遇到了这么一个概念：随机游走。随机游走指每次从相邻的点中随机选一个走过去，重复这样的过程若干次。YJC很聪明，他很快就学会了怎么跑随机游走。为了检验自己是不是欧洲人，他决定选一棵树，每条边边权为1，选一对点s和t，从s开始随机游走，走到t就停下，看看要走多长时间。但是在走了10000000步之后，仍然没有走到t。YJC坚信自己是欧洲人，他认为是因为他选的s和t不好，即从s走到t的期望距离太长了。于是他提出了这么一个问题：给一棵n个点的树，问所有点对(i,j)(1≤i,j≤n)中，从i走到j的期望距离的最大值是多少。YJC发现他不会做了，于是他来问你这个问题的答案。

处理

对每个点我们处理两个值f和g。下面的d[x]表示一个点的度数。
f[x]表示从x走到x的父亲的期望步数。
那么$f[x]=1/d[x]*1+1/d[x]*\sum_{j是x儿子}f[j]+f[x]+1$
移项化简得$f[x]=d[x]+\sum_{j是x儿子}f[j]$
g[x]表示从x的父亲走到x的期望步数。y表示x的父亲。
那么$g[x]=1/d[y]*1+1/d[y]*(1+g[y]+g[x])+\sum_{j是y儿子但不是x}1+f[j]+g[x]$
移项化简得$g[x]=d[y]+g[y]+\sum_{j是y儿子但不是x}f[j]$
两遍dfs求得f和g。

最长链

树上每条路径u->v可以表示为u->w->v，w为lca(u,v)
现在枚举w，尝试求得这条经过w的最长链。
和求直径有些类似，求出向下不相交的f和g最长和次长链，如果f最长链和g最长链不相交那么就是它们加起来，否则f或g要有一个取次长链。
再来一遍dfs搞定。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100000+10;
ll f[maxn],g[maxn],f1[maxn],f2[maxn],g1[maxn],g2[maxn];
int f3[maxn],g3[maxn],d[maxn];
int h[maxn],go[maxn*2],next[maxn*2];
int i,j,k,l,t,n,m,tot;
ll ans;
int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){
        if (ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while (ch>='0'&&ch<='9'){
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
void add(int x,int y){
    go[++tot]=y;
    next[tot]=h[x];
    h[x]=tot;
}
void dfs(int x,int y){
    int t=h[x];
    ll l=0;
    while (t){
        if (go[t]!=y){
            dfs(go[t],x);
            l+=f[go[t]];
        }
        t=next[t];
    }
    f[x]=(ll)d[x]+l;
}
void dg(int x,int y){
    int t=h[x];
    ll l=0;
    while (t){
        if (go[t]!=y) l+=f[go[t]];
        t=next[t];
    }
    t=h[x];
    while (t){
        if (go[t]!=y){
            g[go[t]]=(ll)d[x]+l-f[go[t]]+g[x];
            dg(go[t],x);
        }
        t=next[t];
    }
}
void solve(int x,int y){
    int t=h[x];
    while (t){
        if (go[t]!=y){
            solve(go[t],x);
            if (f1[go[t]]+f[go[t]]>f1[x]){
                f2[x]=f1[x];
                f1[x]=f1[go[t]]+f[go[t]];
                f3[x]=go[t];
            }
            else if (f1[go[t]]+f[go[t]]>f2[x]) f2[x]=f1[go[t]]+f[go[t]];
            if (g1[go[t]]+g[go[t]]>g1[x]){
                g2[x]=g1[x];
                g1[x]=g1[go[t]]+g[go[t]];
                g3[x]=go[t];
            }
            else if (g1[go[t]]+g[go[t]]>g2[x]) g2[x]=g1[go[t]]+g[go[t]];
        }
        t=next[t];
    }
    if (f3[x]!=g3[x]) ans=max(ans,f1[x]+g1[x]);
    else ans=max(ans,max(f1[x]+g2[x],f2[x]+g1[x]));
}
int main(){
    freopen("rw.in","r",stdin);freopen("rw.out","w",stdout);
    n=read();
    fo(i,1,n-1){
        j=read();k=read();
        d[j]++;d[k]++;
        add(j,k);add(k,j);
    }
    dfs(1,0);
    dg(1,0);
    solve(1,0);
    printf("%lld.00000\n",ans);
}