[CC PARSIN]math_ccmath函数-优快云博客

本文介绍了一种利用三角恒等变换优化动态规划（DP）问题的方法，并通过矩阵乘法进一步加速计算过程。文章详细展示了如何通过递推公式简化问题，并给出了具体的C++实现代码。

题目描述

这里写图片描述

预备知识

s i n (a + b) = s i n (a) * c o s (b) + c o s (a) * s i n (b)

$sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)$

c o s (a + b) = c o s (a) * c o s (b) - s i n (a) * s i n (b)

$cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)$

c o s (2 a) = c o s 2 (a) - s i n 2 (a) = 2 c o s 2 (a) - 1

$cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1$

s i n (2 a) = 2 s i n (a) c o s (a)

$sin(2a)=2sin(a)cos(a)$

c o s 2 (a) + s i n 2 (a) = 1

$cos^2(a)+sin^2(a)=1$

DP

首先设F(N,M)表示M个数相加为N的答案。
$F(N,M)=\sum_{k=1}^MF(N-K,M-1)*sin(K*X)$
后面那个东西是什么？

推导

首先
$sin(KX)=sin((K-1)X+X)=sin((K-1)X)cos(X)+cos((K-1)X)sin(X)$
$sin(KX)=sin((K-2)X+2X)=sin((K-2)X)cos(2X)+cos((K-2)X)sin(2X)$
接下来把两式相加并除以2即可，相加结果
$sin((K-1)X+X)=sin((K-1)X)cos(X)+cos((K-1)X)sin(X)+sin((K-2)X)cos(2X)+cos((K-2)X)sin(2X)$
对括号内是2X的使用倍角公式，变成下式
$2cos^2(x)sin((K-2)X)+2sin(X)cos(X)cos((K-2)X)-sin((K-2)X)+cos(X)sin((K-1)X)+sin(X)cos((K-1)X)$
把 $cos(X)sin((K-1)X)$ 变成 $cos(X)[sin((K-2)X)cos(X)+cos((K-2)X)sin(X)]$
代入并合并同类项
$3cos^2(X)sin((K-2)X)+3sin(X)cos(X)cos((K-2)X)+sin(X)cos((K-1)X)-sin((K-2)X)$
把 $sin(X)cos((K-1)X)$ 变成 $sin(X)[cos((K-2)X)cos(X)-sin((K-2)X)sin(X)]$
代入并合并同类项
$3cos^2(X)sin((K-2)X)+4sin(X)cos(X)cos((K-2)X)-sin^2(X)sin((K-2)X)-sin((K-2)X)$
把 $sin^2(X)sin((K-2)X)$ 变成 $(1-cos^2(X))sin((K-2)X)$
代入并合并同类项
$4cos(X)[cos(X)sin((K-2)X)+sin(X)cos((K-2)X)]-2sin((K-2)X)$
注意到[]里的就是和角公式，等于 $sin((K-1)X)$
然后得到结论
$sin(KX)=2cos(X)sin((K-1)X)-sin((K-2)X)$
回到DP，只要讨论K是否为1就可以优化DP式变成
F(N,M)=F(N-1,M-1)+2cos(X)F(N-1,M)-F(N-2,M)
然后矩阵乘法即可

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef double db;
const int maxm=30+10;
struct dong{
    db a[65][65];
};
int s[30];
int i,j,k,l,t,n,m,ca;
db x,y,p;
dong a,b;
void mult(dong a,dong b,dong &c){
    dong d;
    int i,j,k;
    fo(i,1,60)
        fo(j,1,60)
            d.a[i][j]=0;
    fo(k,1,60)
        fo(i,1,60)
            if (a.a[i][k])
                fo(j,1,60)
                    if (b.a[k][j])
                        d.a[i][j]=d.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j];
    fo(i,1,60)
        fo(j,1,60) 
            c.a[i][j]=d.a[i][j];
}
int main(){
    scanf("%d",&ca);
    while (ca--){
        scanf("%d%d",&m,&n);
        scanf("%lf",&x);
        fo(i,1,60)
            fo(j,1,60)
                a.a[i][j]=b.a[i][j]=0;
        fo(i,31,60){
            b.a[i][i-30]=1;
            b.a[i][i]=2*cos(x);
        }
        fo(i,1,30) b.a[i][30+i]=-1;
        fo(i,31,59) b.a[i][i+1]=sin(x);
        a.a[1][1]=sin(x);
        a.a[1][31]=sin(2*x);
        a.a[1][32]=sin(x)*sin(x);
        t=n-1;
        while (t){
            if (t%2) mult(a,b,a);
            mult(b,b,b);
            t/=2;
        }
        y=a.a[1][m];
        if (y>0) printf("+");else printf("-");
        y=fabs(y);
        p=1;
        if (y<1){
            while (1){
                if (y<p&&y>=p/10){
                    printf("%d\n",int(y/(p/10)));
                    break;
                }
                p/=10;
            }
        }
        else{
            while (1){
                if (y>=p&&y<p*10){
                    printf("%d\n",int(y/p));
                    break;
                }
                p*=10;
            }
        }
    }
}