质数贡献算法解析-优快云博客

本文介绍了一种关于质数贡献的算法实现，该算法通过枚举质数并使用容斥原理来解决特定数学问题。文章详细阐述了算法的推导过程，并提供了C++代码示例，包括快速幂运算及质数筛法。

前言

富榄好劲啊！

题目大意

这里写图片描述

TL做法

为了方便，下面的L都用M代替。
显然可以分开每个质数来讨论。
枚举一个 $p^c$ ，所带了的贡献是 $(p^c)^{(m-\lfloor\frac{m}{p^{c+1}}\rfloor)^n-(m-\lfloor\frac{m}{p^c}\rfloor)^n}$
为什么？很简单，LCM包含 $p^c$ 表示p的指数至少有一个是c，且不能超过c。
容斥一发，就是指数都不超过c-指数都不超过c-1。
指数不超过c，那么必须不能存在一个因数是 $p^{c+1}$ 。
于是得到了TM算法。

更快一些

我们沿用上面的算法，但我们只处理根号M以内的质数。
而对于大于根号M的质数，它们的指数都是1，因此可以根据m除以它们的值分块。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxm=5000000+10;
int pri[maxm],sum[maxm];
bool bz[maxm];
int i,j,k,l,t,n,m,ans,top,mo,ca,b;
void prepare(){
    sum[1]=1;
    fo(i,2,5000000){
        sum[i]=sum[i-1];
        if (!bz[i]){
            pri[++top]=i;
            sum[i]=(ll)sum[i]*i%mo;
        }
        fo(j,1,top){
            if ((ll)i*pri[j]>5000000) break;
            bz[i*pri[j]]=1;
            if (i%pri[j]==0) break;
        }
    }
}
int quicksortmi(int x,int y,int mo){
    if (!y) return 1;
    int t=quicksortmi(x,y/2,mo);
    t=(ll)t*t%mo;
    if (y%2) t=(ll)t*x%mo;
    return t;
}
int main(){
    freopen("pupil.in","r",stdin);freopen("pupil.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&mo,&ca);
    prepare();
    while (ca--){
        ans=1;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        b=floor(sqrt(m));
        fo(i,1,top){
            if (pri[i]>b) break;
            j=1;
            while ((ll)j*pri[i]<=m){
                j*=pri[i];
                t=quicksortmi(m-m/((ll)j*pri[i]),n,mo-1)-quicksortmi(m-m/j,n,mo-1);
                t=(t%(mo-1)+mo-1)%(mo-1);
                ans=(ll)ans*quicksortmi(j,t,mo)%mo;
            }
        }
        i=b+1;
        while (i<=m){
            j=m/(m/i);
            t=quicksortmi(m,n,mo-1)-quicksortmi(m-m/i,n,mo-1);
            t=(t%(mo-1)+mo-1)%(mo-1);
            l=(ll)sum[j]*quicksortmi(sum[i-1],mo-2,mo)%mo;
            ans=(ll)ans*quicksortmi(l,t,mo)%mo;
            i=j+1;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}