莫比乌斯反演学习小记

莫比乌斯反演的标准形式

$f[n]=\sum_{d|n}g[d]$
莫比乌斯函数$\mu[i]$，当i=1时为1，当i存在一个质因子指数大于1时为0，否则为-1的i的质因子个数次方。
则$g[n]=\sum_{d|n}f[d]*\mu[\frac{n}{d}]$

莫比乌斯函数的性质与莫比乌斯反演的变形

$\mu$是积性函数。根据这个性质我们可以使用线性筛法将莫比乌斯函数筛出来。
除标准形式外莫比乌斯反演还有变形
$f[d]=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}g[d*i]$
这个式子可以反演成
$g[d]=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}f[d*i]*\mu[i]$
莫比乌斯反演主要应对与很难求f[i]但很容易求出其约数和或倍数和。

莫比乌斯反演题目的四要素

1、公式推导：利用莫比乌斯反演推导出基本式子。
2、等价变换：变量替换、内层外移等技巧。
3、线性筛法：线性筛法功能很强大，可以根据需要预处理各种信息。
4、分块处理：归结到最后，通过分块处理在$\sqrt{N}$内实现。

习题

给两道我已经做过blog里有介绍的题目：
于神之怒
wyx
这篇学习小记没有把中间那些证明过程写下来，想要了解请通过我blog的友情链接访问Crazy，他很认真会写很详细的学习小记噢！