洛谷题解：UVA11413 Fill the Containers

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题意

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有 $n$ 瓶牛奶，要把这堆牛奶存储到 $m$ 个容器中，要求：

• 一个容器的牛奶必须完整倒入，即不可一个容器的牛奶分多个容器装。

• 按照容器的出现的先后顺序装牛奶，即不能随便一个容器来装牛奶。

• 靠前的容器只能用排在更前面的容器装奶，即第 $i$ 个容器必须只装来自那些较早出现的容器的牛奶，对于所有 $i<j$，填充第 $j$ 个容器。

现在让我们求出 $m$ 个容器装牛奶最大容器的最小容量。

分析

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看到最大容器的最小容量的时候，自然而然地想到二分答案。

那么从何下手呢？

一、二分什么答案？

简化题意之后可以发现：

把一个序列分成连续的最多 $m$ 个子序列，使其中序列的和最大值最小。

二分的答案其实就是连续的最多 $m$ 个子序列的和的最小的最大值。

二、考虑二分左边界和右边界：

• 左边界 $l$，即答案最小值，如果每个数为一个单独的序列，那么答案最小是这个序列的最大的数。

• 右边界 $r$，即答案最大值，如果整个序列为一个子序列，那么答案最大就是整个序列的和。

三、考虑检查答案函数

分析条件可以发现，使用贪心划分。当当前正在划分的数列的和超过了当前的答案时，再划分一段，最后看看段数有没有超过 $m$ 段：没超过，答案可行；超过了，答案不可行。

Code

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// UVA11413.Fill the Containers
#include <cstdio>
#include <iostream>
#define N 1005
using namespace std;
int n, m, a[N];
// 检查函数
bool check (int);
int main() {
	while (scanf ("%d%d", &n, &m) == 2) {
		int l = INT_MIN, r = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf ("%d", &a[i]);
			// 答案最小值是这个序列中最大的数
			l = (a[i] > l ? a[i] : l);
			// 答案最大值是这个序列所有数的和
			r += a[i];
		}
		// 二分答案
		while (l < r) {
			int mid = (l + r) >> 1;
			if (check (mid)) r = mid;
			else l = mid + 1;
		}
		printf ("%d\n", r);
	}
	return 0;
}
bool check (int key) {
	// 根据传进来的答案进行分段，判断是否可行
	int sum = 0, cnt = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		sum += a[i];
		if (sum > key) {
			sum = a[i];
			cnt++;
		}
	}
	// 分的段数是否超过 m 段
	return cnt <= m;
}

完结撒花。