矩阵的数学意义

矩阵，一般来说就是实数或复数所组成的矩形方阵，其在信息学中有着举足轻重的地位。简单来说，矩阵的定义就是

$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}$$
实际上，就如我在《高斯消元法》中的表述，矩阵的本质就像方程一样。矩阵的本质是什么？是线性变换！那么，什么是线性变换呢？
举个例子，比如说我们现在有一些变量，它们组成了一个向量$X=(\begin{matrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{matrix})$，然后我们又有相同个数的一些变量，它们又组成了另一个向量$Y=(\begin{matrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_n\end{matrix})$，同时，这两个向量间满足一些条件，比如 $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1} = {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + ...... + {a_{1m}}{x_m}}\\ \vdots\\ {{y_n} = {a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} + ...... + {a_{nm}}{x_m}} \end{array}} \right.$$
而这，就称为从$X$到$Y$的线性变换。考虑这个线性变换中的$\{a_{nm}\}$，将其称为系数矩阵$A$，于是这个矩阵$A$正对应这个线性变换。
那么，矩阵的本质，也就正是线性变换！像矩阵乘法，看上去很复杂，实则不然。考虑两个矩阵$A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$和$B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$，其的乘法的结果$AB$正是相当于一个先做$A$再做$B$的变换。也就是说，我们如果换一种表达方式，将$A$变为 $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1} = {x_1} + {x_2}}\\ {{y_2} = {x_2}} \end{array}} \right.$$ 以及$B$变成 $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1} = {y_2}}\\ {{z_2} = {y_1} + {y_2}} \end{array}} \right.$$
那么将$A$代入$B$，就得到$AB$为 $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1} = {x_2}}\\ {{z_2} = {x_1} + 2{x_2}} \end{array}} \right.$$
这也反映了矩阵的本质，即线性变换。
因此，像斐波那契数列第k项的快速方法这样的东西也就不足为奇了。对于斐波那契数列，我们有 $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1} = {x_2}}\\ {{y_2} = {x_1} + {x_2}} \end{array}} \right.$$
于是可以构造到矩阵$FibonacciMatrix={\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$，再构造一个列向量$\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}^T$(注：在这里的$T$是指转置，也就是将矩阵“右转90度”)，那么斐波那契数列的第$k+1$项和第$k+2$项就可以被公式$FibonacciMatrix^n \times {\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}^T}$求出了。