数学基础--矩阵

一、矩阵

矩阵的定义：

定义 1 : 由 m×n 个数 : αij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成的 m 行 n 列的数表，（横排称为行，竖排称为列）

称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括 弧，并用大写黑体字母表示它，记作

这 m×n 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元，数aij位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A 的（i，j）元。m×n 矩阵 A 也记作 Am×n

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩 阵除特别说明外，都指实矩阵

二、为什么有矩阵

用消元法求解二元线性方程组

借助矩阵进行求解未知数

三、矩阵的应用

矩阵的应用非常广泛，我们习惯将数据描述为矩阵形式，方便统计与计算。 下面举几例

例： 某厂向三个商店（编号 1，2，3）发送四种产品（编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ） 的数量可列成矩阵

其中aij为工厂向第 i 家商店发送第 j 种产品的数量。 这四种产品的单价及单件质量也可列成矩阵

其中bi1为第 i 种产品的单价，bi2为第 i 种产品的单件质量

例： 四个城市间的单向航线如图

四、矩阵的类型

方阵： 行数与列数都等于 n 的矩阵称为 n 阶矩阵（也叫 n 阶方阵）。n 阶 矩阵 A 也记作 An

行矩阵： 只有一行的矩阵，称为行矩阵，又称行向量，A=（A1A2…An）

为避免元素间的混淆，行矩阵也记作 A =（A1，A2，…，An）

列矩阵: 只有一列的矩阵,称为列矩阵，又称列向量

同型矩阵: 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵，如果矩阵 A 和 B 的对应元素相等，那么就称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A =B

零矩阵： 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 0，注意不同型的零矩阵是不 同的，（因为矩阵的行列数不同）

对角矩阵： 从左上角到右下角的直线（叫做对角线）以外的元素都 是 0

单位矩阵： 对角矩阵中对角线上的元素都是 1，其他元素都是 0，这种矩阵 叫做单位矩阵，简称单位阵

对称矩阵： 设 A 为n阶方阵，如果aij=aji（i，j=1，2，…，n），那么A称为对称矩阵，简称对称阵，对称矩阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等

五、矩阵的运算

1、矩阵的加法

只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算，矩阵加 法满足下列运算规律（设 A，B，C 都是 m×n 矩阵）：

（i） A+B=B+A

（ii）（A+B）+C=A+（B+C）

2、矩阵的减法

3、数与矩阵相乘

数λ与矩阵 A 的乘积记作λA 或 Aλ，规定为

数乘矩阵满足下列运算规律（设 A、B 为 m×n 矩阵，λ、μ为数）

（i） （λμ）A =λ（μA）

（ii） （λ+μ）A =λA+μA

（iii） λ（A+B）=λA +λB

矩阵加法与矩阵数乘统称为矩阵的线性运算

4、矩阵的相乘

只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘

练习：

5、矩阵的转置

6、逆矩阵

对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵 B ，使

AB=BA=E

则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵，简称逆阵

A 的逆矩阵，表示为 A的逆

逆矩阵的运算：

逆矩阵求解:

7、二阶行列式计算:

8、三阶行列式计算及n阶行列式求解思路:

9、伴随矩阵的求解: