数据结构与算法（C++）– 图（Graph）

数据结构与算法（C++）– 图（Graph）

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1、图的基础概念

定义：一个图G=（V, E）由顶点（vertex）的集V和边（edge）的集E组成。

• 边(edge)：一对点即为一条边(v, w)，其中v, w ∈ V
• 有向图(directed)：点对是有序的
• 无向图(undirected)：点对是无序的
• 邻接(adjacent)：w 邻接到 v，当且仅当(v, w )∈ E
• 权(weight)/值(cost)：边上的值
• 路径(path)：连通两点间的边
• 长(lengh)：路径上的边数
• 简单路径(simple path)：路径上的顶点都是互异的
• 环(cycle)：有向图中，首尾相连长度至少为1的简单路径。
• 无环(acyclic)：有向图中中没有环
• 连通的(connected)：无向图中每一个顶点到其它顶点都存在一条路径
• 强连通的(strongly connected)：有向图具有连通的性质
• 基础图(underlying graph)：无向图去掉边的方向
• 弱连通的(connected)：有向图的基础图是连通的
• 完全图(complete graph)：每一对顶点都存在一条边

几个关系：

• n 个顶点的无向连通图，至少有 n-1 条边
• n 个顶点的有向强连通图，至少有 n 条边
• n 个顶点的无向完全图，有 n(n-1)/2 条边
• n 个顶点的有向完全图，有 n(n-1) 条边

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2、图的表示

图有两种表示方法：邻接矩阵，邻接表

邻接矩阵： 稠密(dense)，复杂度为O(|V|^2)

邻接表： 稀疏(sparse)，复杂度为O(|E| + |V|)

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3、广度优先搜索（Breadth-first search，BFS）

定义： 按照由近到远的层进行搜索

实现： 使用队列(queue)结构实现。首先起点入队，队列出队一个元素，把邻接于该元素的所有顶点入队，循环直到队列为空即所有顶点都被访问过。

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4、深度优先搜索（Depth-first search，DFS）

定义： 按照由深到浅的递归进行搜索

实现： 使用栈(stack)结构实现。首先起点入栈，出栈一个元素，把邻接于该元素的所有顶点入栈，循环直到栈为空即所有顶点都被访问过。

5、有向无权图的最短路径

实现： 使用广度优先搜索，复杂度为O(|E| + |V|)。

1. 首先把起点的长(dv)设为0其它点的长设为∞
2. 使用广度优先搜索算法更新点的dv值（邻接点+1），并记录更新点的父点(pv)
3. 直到所有的点都被更新过，停止搜索
   

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