C / C++ 数据结构与算法（图）

只是我自己看书、视频的总结 可能不适合其他人看。

图是一种较线性表和树更加复杂的数据结构。在图形结构中，结点之间的关系可以是任意的，图中任意两个数据元素之间都可能相关。

图（graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合

• 在图中数据元素，称为顶点（Vertex）
• 在图结构中，不允许没有顶点。在定义中，若V是顶点的集合，则强调了顶点集合V有穷非空。
• 在图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间逻辑关系用边来表示，边集可以为空。

图的定义

• 无向边：若顶点vi到vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边（Edge），用无序偶对（vi，vj）来表示。
• 有向边：若顶点vi到vj之间的边有方向，则称这条边为有向边，称为弧（Arc）。用有序偶<vi,vj>来表示。连接顶点A到D的有向边就是弧，A是弧尾，D是弧头，<A,D>表示弧，注意不能写成<D，A>。 无向边用（）,有向边用<>
• 在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。
• 无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图，n个顶点有（n*（n-1）/2）条边。
• 有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。n个顶点有n*（n-1）条边。
• 边或弧很少则称稀疏图，反之稠密图
• 有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫权（weight）
  这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或者耗费。
• 这种带权的图通常称为网。
• 一个连通图的生成树是一个极小的联通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。**如果一个图有n个顶点。
• 如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一棵有向树。
• 一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树弧。
• 图中顶点间存在路径，两顶点存在路径说明是连通的，如果路劲最终回到起始点则成为环，当中不重复叫简单路径。若任意两顶点都是连通的，则图就是连通图，有向则称强连通图。图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。

图的抽象数据类型

ADT 图(Graph)
Data
	顶点的有穷非空集合和边的集合
Operation
	CreateGraph (*G,V,VR):按照顶点集V和边弧集VR的定义构造图G。
	DestroyGraph (*G):图G存在则销毁
	LocateVex (G,u):若图G中存在顶点u，则返回图中位置。
	GetVex (G,v):返回图中顶点v的值。
	PutVex (G,v,value):将图G中顶点v赋值value。
	FirstAdjVex (G,*v):返回顶点v的一个邻接顶点，若顶点在G中无邻接顶点则空
	NextAdjVex (G,v,*w):返回顶点v相对于顶点w的下一个邻接顶点，若w是v的最后一个邻接点则返回空。
	InsertVex (*G,v):在图G中增添新顶点v
	DeleteVex (*G,v): 删除图G中顶点v及其相关的弧
	InsertArc (*G,v,w):在图G中增加弧<v,w>,若G是无向图，还需要增加对称弧<w,v>
	DeleteArc (*G,v,w):在图G中删除弧<v,w>,若G是无向图，则还还删除对称弧<w,v>
	DFSTraverse (G):对图G中进行深度优先遍历，在遍历过程中对每个顶点调用。
	HFSTraverse (G):对图G中进行广度有点遍历，在遍历过程中对每个顶点调用。
endADT

最短路径

对于网格来说，最短路径，是指两顶点之间经过的边上权值之和最少的路径，并且我们称路径上的第一个顶点是源点，最后一个点为终点

迪杰斯特拉（Dijkstra）算法

#define MAXVEX 9
#define INFINITY 65535
typedef int Pathmatirx[MAXVEX]; //用于储存最短路径下标的数组
typedef int ShortPathTable[MAXVEX]; //用于储存到各点最短路径的权值和
/*Dijkstra算法，求有向网G的v0顶点到其余顶点v最短路径P[v]及带权长度D[v] */
/*P[v]的值为前驱顶点下标，D[v]表示v0到v的最短路径长度和 */
void ShortestPath_Dijkstra (MGraph G, int v0, Pathmatirx *P, ShortPathTable)
{
	int v, w, k, min;
	int final[MAXVEX]; //final[w]=1表示求得顶点v0至vw的最短路径
	for(v=0;v<=G.numVertexes;v++) //初始化数据
		{
			final[v] = 0; //全部顶点初始化为位置最短路径状态
			(*D)[v] = G.matirx[v0][v]; //将与v0有连线的顶点加上权值
			(*p)[v] = 0; //初始化路径数组P为0
		}
		(*D)[v0] = 0; //v0至v0的路径为0
		final[v0] = 1; //v0至v0不需要求路径
     /*开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径*/
	for (v=1;v<G.numVertexes;v++)
		{
			min = INFINITY; //当前所知离v0顶点的最近距离
			for (w=0;w<G.numVertexes;w++)
				{
					if (!final[w] && (*D)[w]<min)
					{
						k=w;
						min = (*D)[w]; // w顶点离v0更近
					}
				}
			final[k]=1; //将目前找到的最近的顶点置为1
			for (w=0;w<w.numVertexes;w++) //修正当前最短路径及距离
				{
					//如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话
					if (!final[w] && (min+G.matirx[k][w]<(*D)[w]))
						{
							(*D)[w] = min +G.matirx[k][w]; //修改当前路径长度
							(*P)[w] = k;
						}
				}
			}
	}	

佛洛依德（Floyd）算法