2025年河南省暑期青少年程序设计能力提升集训DAY2线性字符串算法（哈希+KMP+Manacher+最小表示法）-优快云博客

·字符串哈希

那很暴力了

关于哈希的介绍这里复制粘贴了：

Hash是一种数据结构，叫做Hash表(哈希表)，也叫散列表。关于Hash的实现，其实与离

散化颇为类似。就是把若⼲的复杂的信息映射到一个比较容易维护的值域去。具体的实现

方式是散列函数，即Hash函数，其原理是对于一个数据，选取一个关键键值，那么这个数

据在Hash表中的位置就是 $f(k)$ 。那么这个对应关系 $f()$ 就是哈希函数。

即： $hash[i]=hash[i-1]*p+f(i)$ (p为大质数，常用13331，mod取更大即可，我用无符号long long不考虑mod）

个人理解就是一段 $p$ 进制的数，如果用哈希就能直接比较这一段与另一段的关系

这里说一下求子串哈希值的通项公式：

哈希值为 $hash[i]-hash[j-1]\times p^{i-j+1}$

或者是 $\left (\left ( hash[i]-hash[j-1]\times p^{i-j+1} \right)\mod mod+mod \right )\mod mod$ (用无符号long long的话不用这个也行）

·KMP算法

时间复杂度 O(nm) -> O(n+m)

学过了就简单说一下吧，本质上就是求前后缀，目的是更快的往后遍历（右移更快一些并且不用跳回来再次遍历）

首先是比较难的pmt前后缀数组，这里给一下模板代码

模板

void PMT(string s){
	ll j=0,n=s.size();
	af(i,1,n-1){
		while(j&&s[i]!=s[j]) j=pmt[j-1];
		if(s[i]==s[j]) j++;
		pmt[i]=j;
	}
}

然后是标准KMP模板

void KMP(string s1,string s2){
	ll j=0;
	af(i,0,s1.size()-1){
		while(j&&s1[i]!=s2[j]) j=pmt[j-1];
		if(s1[i]==s2[j]) j++;
		if(j==s2.size()){
			j=pmt[j-1];
		}
	}
}

·Manacher算法

时间复杂度 O(n^2) -> O(n)

Manacher算法的核心思想是利用回文串的对称性质，通过维护一个"当前最远回文右边界"和对应的中心点，来避免重复计算。

主要步骤：

预处理：在原字符串的每个字符间插入一个特殊字符（如'#'），将奇数和偶数长度的回文统一处理为奇数长度。
维护变量：
- P[i]：记录以i为中心的最长回文半径
- C：当前回文中心
- R：当前回文右边界
算法流程：
遍历字符串，对于每个位置i：
- 如果i在R内，镜像解决，可以利用对称性快速获取P[i]的初始值
- 暴力更新向两边扩展以确定P[i]的准确值
- 如果i+P[i]超过R，继续暴力更新，更新C和R

这里解释足够详细，考的题也不多，不做赘述了

·最小表示法

也就是找字符串的最小表示（好像说了跟没说一样）

最小表示法是一种用于找到字符串或序列的“最小表示”的算法。它主要用于处理循环同构的字符串，找到其中字典序最小的那个。例如，字符串 bcda 的表示有 bcda， cdab, dabc, abcd，其中 abcd是字典序最小的表示。

通过双指针i和j来确定字符串的字典序

给一下模板

模板

n=read();
	af(i,0,n-1) a[i]=read();
	ll i=0,j=1,k=0;
	while(i<=n&&j<=n&&k<=n){
		if(a[(i+k)%n]>a[(j+k)%n]) i=i+k+1,k=0;
		if(a[(i+k)%n]<a[(j+k)%n]) j=j+k+1,k=0;
		if(a[(i+k)%n]==a[(j+k)%n]) k++; if(i==j) i++;
	}
	ll ans=min(i,j); 
	af(p,0,n-1) cout<<a[(p+ans)%n]<<' ';

比较过程：

情况1：s[i+k] == s[j+k]
         k++
情况2：s[i+k] > s[j+k]
         i = i + k + 1
情况3：s[i+k] < s[j+k]
        j = j + k + 1
终止条件：i 或 j 超出字符串长度

题目的话回来再说吧（绝对不是我没写完）