【分治算法】例子

分治策略:

①、将问题分解成若干个小的子问题,每个子问题与大问题同型(所以里面可以用递归),但规模更小

②、递归解决这些子问题

③、将子问题的解答合并,获得大问题的解答

/*
最大字段和问题
*/


#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int a[100];
int maxsum_dac(int a[],int left,int right){
int sum=0;
int mid;
int leftsum=0,rightsum=0; //leftsum存放左子数组的最大字段和,rightsum存放右子数组的最大字段和。 
int s1=0,s2=0;
int lefts=0,rights=0;   //在mid和mid+1往两边查找过程中,lefts,rights分别存放在寻找左数组最大字段和和寻找右数组最大字段和的过程过当前找到的值,它会不断更新 
int i;
if(left==right){
sum=a[left]>0?a[left]:0;
// if(a[left]>0){
// sum=a[left];
// }
// else
// sum=0;
}
else{
mid=(left+right)/2;
leftsum=maxsum_dac(a,left,mid);
rightsum=maxsum_dac(a,mid+1,right);
for(i=mid;i>=left;i--){
lefts=lefts+a[i];
if(lefts>s1)
s1=lefts;
}
for(i=mid+1;i<=right;i++){
rights=rights+a[i];
if(rights>s2)
s2=rights;
}
sum=s1+s2;
if(sum<leftsum)
sum=leftsum;
if(sum<rightsum)
sum=rightsum;
}
return sum;   //返回数组中的最大字段和sum 
}
int main() {
int i=1,k,sum=0;
char c; 
cout<<"请输入任意个数的一组数据!(小于100个)"<<endl;
    do
    {
        cin>>a[i++];
        c=getchar();
    }while(c!='\n');
    i--;
    sum=maxsum_dac(a,1,i);
    cout<<"给定数组的最大字段和是:"<<sum<<endl;
}


### 分治算法经典示例 #### 归并排序 归并排序是一个典型的分治算法应用实例。该方法遵循分治法的基本思想,即先将数组分成两半分别进行排序,再把两个有序的部分合并成一个完整的有序序列。 ```python def merge_sort(arr): if len(arr) <= 1: return arr mid = len(arr) // 2 left_half = merge_sort(arr[:mid]) right_half = merge_sort(arr[mid:]) return merge(left_half, right_half) def merge(left, right): sorted_list = [] i = j = 0 while i < len(left) and j < len(right): if left[i] < right[j]: sorted_list.append(left[i]) i += 1 else: sorted_list.append(right[j]) j += 1 sorted_list.extend(left[i:]) sorted_list.extend(right[j:]) return sorted_list ``` 此实现展示了如何通过递归来分割输入直到单个元素,之后逐步组合这些部分以形成完全排序的结果[^3]。 #### 汉诺塔问题 (Tower of Hanoi) 另一个著名的例子就是汉诺塔问题。这个问题的目标是在遵守特定规则的情况下移动一组不同大小的圆盘从一根柱子到另一根柱子上。解决方案同样基于分治策略——每次只处理最上面的一个较小规模的问题,并假设其他部分已经被正确解决了。 ```python def hanoi(n, source, auxiliary, target): if n == 1: print(f"Move disk from {source} to {target}") return hanoi(n - 1, source, target, auxiliary) print(f"Move disk from {source} to {target}") hanoi(n - 1, auxiliary, source, target) ``` 这段代码定义了一个函数`hanoi()`用于打印每一步操作,它接收四个参数:要移动的磁盘数量n以及源peg、辅助peg目标peg的名字字符串。当只剩下一个磁盘时直接将其移至目的地;否则就按照分治原则执行相应的动作[^2]。
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