DOA算法3：Matrix Pencil

注：本博文为本人阅读论文、文章后的原创笔记，未经授权不允许任何转载或商用行为，否则一经发现本人保留追责权利。有问题可留言联系，欢迎指摘批评，共同进步！！！

为什么需要Matrix Pencil算法？

注意到，之前所述的DOA经典算法如MUSIC、ESPRIT算法都需要首先估计出相关矩阵$\mathbf{R}$。而要估计出这个矩阵是非常消耗计算量的：对于数据向量$\mathbf{x}$，需要至少$K$次的快照，并且要求$K>2N$。

算法介绍

Matrix Pencil最初是用于确定系统极点的。
在第$n$个时隙所接收到的信号可以建模为：
$$x_n=\sum _{m=1}^M{\mathbf{A}}_m{z}_m^n+n_n$$
其中$z_m=e^{jkdcos{\varphi }_m△t}$就是系统的极点（不用记），$n_n$代表加性高斯白噪声。目标就是给定接收信号$x_n$来估计极点$z_m$。

数理基础——广义特征值

存在$\lambda$，使得式$\mathbf{Ax}=\lambda \mathbf{Bx}$存在非0解向量，那么$\lambda$就称作矩阵$\mathbf{A}$对$\mathbf{B}$的广义特征值；相应的$\mathbf{x}$是广义特征向量。

• 显然，当$\mathbf{B}=\mathbf{E}$时，就是普通的求特征值问题；
• 当$\mathbf{B}\ne \mathbf{E}$时，就是广义特征值问题。

同理，等式可以化为如下形式：
$$(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{B})\mathbf{x}=0$$
这是个齐次方程组

齐次方程组要有非零解，那么系数矩阵所形成的的行列式必定为0

根据要求，那么使得$det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{B})=0$即可解出广义特征值。

算法原理

与ESPRIT算法相似，Matrix Pencil也需要分解矩阵，它分解的就是接收信号矩阵$\mathbf{X}$. 首先我们定义两个$(N-L)\times L$大小的矩阵${\mathbf{X}}_0$和${\mathbf{X}}_1$：
$${\mathbf{X}}_0=[\begin{array}{ccc}{x}_0& x_1& \\ x_1& x_2& \\ ⋮& ⋮& \\ x_{N-L-1}& x_{N-L}& \end{array}$$