找出数组X和Y中所有2n个元素的中位数

本文介绍了如何通过算法导论中的方法解决找出两个数组X和Y中所有2n个元素的中位数问题。首先考虑基本情况,即数组长度为1时的处理。然后,通过比较两个数组的中位数,将问题转化为求解新数组的中位数,新数组由较大中位数数组的低区和较小中位数数组的高区组合而成。通过递归分治策略,确保中位数始终位于新数组中。最后,给出了Python实现代码。

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算法导论第三版,9.3-8

算法:

  1. 如果两个数组长度为1,选出较小的那个一个
  2. 否则,取出两个数组的中位数。
  3. 取有较大中位数的数组的低区和较低中位数数组的高区,组合成新的长度为n的数组。
  4. 找出新数组的中位数

思路:
既然用递归分治,一定有基本情况,基本情况就是数组长度为1.
观察会发现总的中位数介于两个数组的中位数之间。详细证明如下:
设总的中位数是 M X 的中位数是 MX Y 的中位数是 MY ,假设 M 位于 X (位于Y类似),

### 回答1: 中位数是指一组数据中处于中间位置的数,即将数据从小到大排序后,位于中间位置的数。对于两个已排好序的数组xy,可以使用归并排序的思想,将它们合并成一个有序数组,然后找出这个数组中位数即可。具体步骤如下: 1. 定义一个新的数组z,长度为2n。 2. 使用归并排序的思想,将xy合并成一个有序数组z。具体方法是,定义两个指针ij,分别指向xy的起始位置,比较x[i]y[j]的大小,将较小的数放入z中,并将指向该数的指针向后移动一位,直到其中一个数组的所有数都放入了z中。 3. 如果xy的长度不相等,将剩余的数依次放入z中。 4. 如果z的长度为偶数,中位数为z[n-1]z[n]的平均值;如果z的长度为奇数,中位数为z[n]。 5. 返回中位数。 注意:在实际编程中,需要考虑数组越界的情况,以及处理浮点数的精度问题。 ### 回答2中位数是一个序列中居于中间位置的数,对于已经排好序的数组而言,容易求得中位数,如果n为奇数,中位数就是第(n+1)/2个数;如果n为偶数,则中位数是第n/2n/2+1个数的平均数。但是对于两个数组,如何求得它们合并后的中位数呢? 一种思路是直接将两个数组合并成一个有序数组,然后再按照上述方法求出中位数。但是时间复杂度为O(n),无法满足要求。 另一种思路是采用递归的方式,不断缩小求解问题的规模。首先找到xy的中位数,分别记为m1m2,比较m1m2的大小,如果m1<m2,则中位数必然在x[m1:n-1]y[0:m2]之间,即问题规模缩小为原来的一半;反之,中位数在x[0:m1]y[m2:n-1]之间。进一步,如果问题规模为奇数,则找到第(n+1)/2小的数,如果为偶数,则找到第n/2n/2+1小的数,然后求它们的平均数。 递归结束条件为,xy各自缩减到一个元素时,比较它们的大小,较小的数即为中位数。 该算法的时间复杂度为O(logn),满足要求。 ### 回答3: 中位数是指一组数中大小排列中处于中间位置的数,当数的个数为偶数时,中位数为中间两个数的平均数。设x[ 0 : n - 1]y[ 0 : n – 1 ]为两个数组,每个数组中含有n个已排好序的数,要求找到这两个数组合并后的2n个数的中位数。 一种简单而直接的做法是将两个数组合并成一个有序数组,然后找到这个新数组中位数。可以用归并排序的思想,在比较两个数组中的数的大小时,将较小的数放到新数组中,对应的数组索引+1,直到找到中位数或者新数组中存储了2n个数。如果2n为奇数,则新数组中第n个数即为中位数;如果2n为偶数,则新数组中第n第n+1个数的平均数即为中位数。 时间复杂度为O(n),由归并排序中每个元素只比较一次导致。该做法虽然简单有效,但需要额外的存储空间来存储新数组,占用的空间大小为O(n)。如果不希望占用额外的空间,还可以使用双指针的方法,分别从xy两个数组中位数开始往两边扩展,每次排除掉一半的数据,直到找到合并后的2n个数的中位数。 具体做法为,首先找到两个数组自身的中位数,分别为xmidymid,若xmid小于ymid,则x数组的前xmid个元素y数组的后n-xmid个元素一定在2n个数的中位数的左边;若xmid大于ymid,则x数组的后n-xmid个元素y数组的前xmid个元素一定在2n个数的中位数的左边。根据这个规律,可以反复排除一半的数据,直到找到合并后的2n个数的中位数。 时间复杂度为O(logn),每一次排除了一半的数据,类似于二分查找的思想。这种做法不需要额外的存储空间,但需要特殊处理边界情况,比如xmid=0或n-1的情况。
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