算法导论之动态规划：最长公共子序列

公共子序列定义：

给定一个序列X=<x1,x2,x3……,xm>,另一个序列Z=<z1,z2,z3……,zk>满足如下条件时称为X的子序列。

即存在一个严格递增的X的下标序列<i1,i2,……ik>，对所有的j=1,2,……,k，满足xi=zj。

动态规划算法的4个步骤：

1.刻画一个最优解的结构特征。

2.递归地定义最优解的值。

3.计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。

4.利用计算出的信息构造一个最优解。

第一步、我们刻画出最长公共子序列的特征：

令X=<x1,x2……,xm>和Y=<y1,y2……,yn>为两个序列，Z=<z1,z2……，zk>为X和Y的任意LCS。

1.如果x[m]=y[n]，则z[k]=x[m]=y[n]，且Z[k-1]是X[m-1]和Y[n-1]的一个LCS。

2.如果x[m]!=y[n]，则z[k]!=x[m]，且意味着Z是X[m-1]和Y的一个LCS。

2.如果x[m]!=y[n]，则z[k]!=y[n]，且意味着Z是X和Y的[n-1]一个LCS。

第二步、一个地归解：

c[i,j]=0                                          若i=0或j=0

c[i,j]=c[i-1][j-1]+1                        若i,j>0且x[i]=y[j]

c[i,j]=max(c[i][j-1],c[i-1][j])         若i,j>0且x[i]!=y[j]

第三步、计算LCS的长度

时间复杂度为O(mn)。

第四步、构造LCS。

时间复杂度为O(m+n)。

代码实现如下：

#include <stdio.h>
#include<String.h>

int LCS_LENGTH(char *Xstring,char *Ystring,int Xlen,int Ylen,int c[][Ylen+1],char b[][Ylen+1]){
	int i=1;
	for(;i<Xlen+1;i++){
		c[i][0]=0;
	}
	int j=0;
	for(;j<Ylen+1;j++){
		c[0][j]=0;
	}
	for(i=1;i<Xlen+1;i++){
		for(j=1;j<Ylen+1;j++){
			if(Xstring[i-1]==Ystring[j-1]){
				c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
				b[i][j]='=';
			}else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){
				c[i][j]=c[i-1][j];
				b[i][j]='|';
			}else{
				c[i][j]=c[i][j-1];
				b[i][j]='-';
			}
		}
	}
	return c[Xlen][Ylen];
}
void PRINT_LCS(int Ylen,char b[][Ylen+1],char *Xstring,int i,int j){
	if(i==0 || j==0){
		return;
	}
	if(b[i][j]=='='){
		PRINT_LCS(Ylen,b,Xstring,i-1,j-1);
		printf("%c",Xstring[i-1]);
	}else if(b[i][j]=='|'){
		PRINT_LCS(Ylen,b,Xstring,i-1,j);
	}else if(b[i][j]=='-'){
		PRINT_LCS(Ylen,b,Xstring,i,j-1);
	}
}
int main(int argc, char *argv[])
{
	char Xstring[] = "ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA";
	char Ystring[] = "GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA";
	int Xlen=strlen(Xstring);
	int Ylen = strlen(Ystring);
	int c[Xlen+1][Ylen+1];
	char b[Xlen+1][Ylen+1];
	int len = LCS_LENGTH(Xstring,Ystring,Xlen,Ylen,c,b);
	printf("the common String's length is:%d\nXstring len is:%d\nYstrring len is:%d\n\n",len,Xlen,Ylen);
	char rs[len];
	int flag=len;
	int i=Xlen,j=Ylen;
	int count=0;
	while(i>0&&j>0){
			printf("this is b[%d][%d],\tcount is %d,\tXstring[%d] is %c,\tYstring[%d] is%c\n",i,j,++count,i-1,Xstring[i-1],j-1,Ystring[j-1]);
			if(b[i][j]=='='){
				rs[--flag]=Xstring[--i];
				printf("%d,%d,%c\n",i+1,j,rs[flag]);
				j--;
			}else if(b[i][j]=='|'){
				printf("%c\n",'|');
				i--;
			}else if(b[i][j]=='-'){
				printf("%c\n",'-');
				j--;
			}
	}
	int w= 0;
	for(;w<len;w++){
		printf("%c",rs[w]);
	}
	printf("\n");
	PRINT_LCS(Ylen,b,Xstring,Xlen,Ylen);
	return 0;
}

上面第四步的构造LCS，使用了两种方式，任选其一即可。

参考资料：
算法导论

备注：
转载请注明出处：http://blog.youkuaiyun.com/wsyw126/article/details/51419556
作者：WSYW126

最长公共连续子串

package cc.wsyw126.java.nowcoder;

import java.util.Scanner;

/**
 * Created by Administrator on 2017/4/12.
 */
public class LCSContinuous {
    public int LCS_LENGTH(String a, String b) throws Exception {
        int result = 0;
        if (a == null || b == null) {
            throw new Exception("null Exception!");
        }
        if (a.length() == 0 | b.length() == 0) {
            return result;
        }
        int raw = a.length(), column = b.length();
        int[][] mark = new int[raw+1][column+1];
        for (int i = 0; i <= raw; i++) {
            mark[i][0] = 0;
        }
        for (int i = 0; i <= column; i++) {
            mark[0][i] = 0;
        }
        for (int i = 0; i < raw; i++) {
            for (int j = 0; j < column; j++) {
                if (a.charAt(i) == b.charAt(j)) {
                    if (i-1<0 || j-1 <0 || a.charAt(i-1) == b.charAt(j-1)) {
                        mark[i+1][j+1] = mark[i][j]+1;
                    } else {
                        mark[i+1][j+1] = 1;
                    }
                }else {
                    if (mark[i][j+1] >= mark[i+1][j]) {
                        mark[i+1][j+1] = mark[i][j+1];
                    }else {
                        mark[i+1][j+1] = mark[i+1][j];
                    }
                }
            }
        }
        result = mark[raw][column];
        return result;
    }

    public static void main(String[] args) throws Exception {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        while (scanner.hasNext()) {
            String a = scanner.nextLine();
            String b = scanner.nextLine();
            LCSContinuous lcs = new LCSContinuous();
            int i = lcs.LCS_LENGTH(a, b);
            System.out.println("i = " + i);

        }
    }
}