算法导论实验五：最长公共子序列（LCS）

1. 实验内容

本实验实现了计算两个字符串之间的 最长公共子序列（LCS） 的算法，并进行了不同空间复杂度优化版本的实现。要求：

1. 编写程序实现最长公共子序列（LCS）算法，并理解其核心思想。

2. 实现三种空间复杂度优化版本：

   • 时间复杂度：O(mn)，空间复杂度：O(mn)，计算LCS及其长度。

   • 时间复杂度：O(mn)，空间复杂度：O(2 * min(m, n))，计算LCS长度。

   • 时间复杂度：O(mn)，空间复杂度：O(min(m, n))，计算LCS长度。

给定两个字符串 text1 和 text2，求出它们的最长公共子序列（LCS）及其长度。

2. 算法设计思路

2.1 动态规划

最长公共子序列问题可以通过 动态规划（DP）来解决。基本思路是定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示 text1[0...i-1] 和 text2[0...j-1] 的最长公共子序列的长度。我们通过逐步构建这个数组，最终得到 dp[m][n]，其中 m 和 n 分别是 text1 和 text2 的长度。

状态转移方程：

• 如果 text1[i-1] == text2[j-1]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

• 否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

2.2 空间优化

为了优化空间复杂度，可以通过以下方式进行优化：

• 优化1：使用二维 dp 数组存储当前行和上一行的状态，空间复杂度为 O(mn)。

• 优化2：由于只需要利用上一行的数据，使用滚动数组的方