ST表详解

相关概念

• ST表，又名稀疏表，是一种基于倍增思想，用于解决可重复贡献问题的数据结构

倍增：是一种思想，顾名思义，成倍的增加。例如STL库中的vector，之所以称为动态数组，在不指定大小的情况下，初始化为1个空间，而其空间变化规律为1， 2， 4……当添加一个新元素时，如果空间不够，则空间成倍扩大，如下图所示

可重复贡献问题 是指对于运算op，满足 x op x = x，则对应的区间询问就是一个可重复贡献问题。
例如，最大值有 max(x,x) = x，gcd 有 gcd(x,x) = x，所以 RMQ 和区间 GCD 就是一个可重复贡献问题。

应用场景

• ST表可用于解决RMQ问题，即区间最值问题

RMQ 是英文 Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值

原理(以求最大值为例)

• ST表中定义了一个二维数组f[N][M]，f[i][j]表示区间[i, i + 2^j + 1]内的最大值
• 根据倍增思想，给出状态转移方程f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + 2^j - 1^][j - 1])

f[i][j]对应区间[i, i + 2^j + 1]，长度为2^j，若想求该区间内的最大值，则可以将该区间划分为两个等长的区间，长度均为2^j / 2 = 2^j-1，求每个区间的最大值，再取两者的max即可
由于不同区间有重叠部分，因此从最左侧的区间开始寻找，在后续遍历时会用到前面的结果

代码实现

ST表的创建

首先需要确定最大区间长度，以确定f[i][j]中i和j的取值范围
假设数组的长度为n，则有2^k <= n < 2^k+1，由此可得k = [log2(n)]（以2为底n的对数，向下取整）

void ST_Init()
{
	for(int i = 1; i <= n; i ++) f[i][0] = a[i]; //f[i][j]，当j为0时，区间长度2^j为0，则区间最大值就是区间的唯一元素a[i] 
	int k = log2(n); //使用math.h库的函数，计算i和j的取值范围 
	for(int j = 1; j <= k; j ++) //之前已经计算过区间长度为0的情况，这里区间长度由2^1 到 2^k 
	{
		for(int i = 1; i <= n - (1 << j) + 1; i ++) //确定区间左端点，区间范围为[i, i + 2^j - 1],所以 i + 2^j - 1 <= n
			f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); //状态转移方程 
	}
}

时间复杂度O(nlogn)

ST表的查询

对于给定的区间[l, r]，首先确定k值，区间长度为r - l + 1，则有2^k <= r - l + 1 < 2^k+1，再将整个区间分为前2^k个数，和后2^k个数，分别求出最值，再取二者的max

这里我们会发现，划分的两个区域可能会有重叠部分，如[1, 2, 5, 8, 6]划分为[1, 2, 5]和[5, 8, 6]两个部分，第一个区间最大值为5，第二个区间最大值为8，最终得到的整个区间最大值为8。由此可见，区间重叠对整个区间最大值无影响

int ST_Query(int l, int r)  
{
	int k = log2(r - l + 1);
	return max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
} 

时间复杂度O(1)

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附近最小

总结

ST表可在O(nlogn)的时间内，查询到给定区间的最值，速度非常快。但缺点时，该过程中，整个数组的元素不能发生变化，否则，每发生一次变化，就要进行一次初始化

欢迎大家批评指正！！！