#看懂0/1背包与完全背包的空间优化

0/1背包的主要思路就是:这件物品，取还是不取。用一个二维数组dp[i][v]来表示对第i个物品，背包容量为v时的情况。c[i]表示第i件物品的体积，w[i]表示第i件物品的价值。那么考虑第i件物品取与不取:如果不取，那么就可以转化为i-1件物品、容量仍然为v、价值没有增加的情况(dp[i-1][v])；如果取，那么转化为i-1件物品、容量减去第i件物品的体积后剩余容量、价值加上第i件物品的价值后的情况(dp[i-1][ v-c[i] ] + w[i] )。为了让背包中物品价值最大，我们取二者较大者，也就是

dp[i][v]=max{ dp[i-1][v] , dp[i-1][ v-c[i] ] + w[i] }。好了，现在思考如何将数组压缩，对于这两种情况下dp[i][v]值的改变，要么是dp[i][v]=dp[i-1][v],要么是dp[i][v]=dp[i-1][ v-c[i] ] + w[i]。假设下面是就是二维数组dp的一部分,

　　　　　　a　　　　b　　　　dp[i-1][v]　　　　d　　　　e

　　　　　　f　　　　g　　　 　dp[i][v]  　　　　 h          k

　　我们可以发现：如果dp[i][v]=dp[i-1][v],那么相当于直接复制dp[i][v]上面的元素dp[i-1][v]值。而如果dp[i][v]=dp[i-1][ v-c[i] ] + w[i]，注意到，v-c[i]<=v，所以，dp[i][v]的值是由上面红色的元素加上w[i]得到，也就是说，我们每次想要更新dp[i][v],可能会用到的值只有上面红色的部分，所以，我们就能把二维数组压缩为一维数组，只需要每次从后往前更新dp[i][v]的值。这样就用dp[v]来表示容量为v的情况下，背包内物品的价值，状态转移方程也就成了：

　　dp[v]=max{ dp[v] , dp[ v-c[i] ] + w[i] }

 

　　对于完全背包，一件物品可以取多次，我们仍然使用0/1背包的思想:这件物品，取还是不取。唯一的变化是，取了这件物品，还可以取。所以，如果取，仍然是i件物品的问题( dp[i][ v - c[i]] + w[i]);如果不取，dp[i][v]还是dp[i-1][v]都一样(第一次不取，以后也不会取，相当于转化成i-1件物品的问题，为了和取的情况保持一致，采用dp[i][v])。所以状态转移方程变为了dp[i][v]=max{ dp[i][v] , dp[i][ v-c[i] ] + w[i] },那么在数组里，

　　　　　　a　　　　b　　　　m　　　　　　　　d　　　　e

　　　　　　f　　　　g　　　 　dp[i][v]  　　　　 h          k

　　同样注意到，v-c[i]<=v,所以，每次更新dp[i][v],可能用到的值是红色部分，所以也可以压缩为一维，这里要注意了，数组中的f、g，是i下的情况，并不是i-1的情况，dp[i][v]的值取决取i下，而不是i-1,所以此时应该从前往后更新dp的值，这样才能保证取第i件物品时，dp[i][v]是由dp[i][v-c[i]]+w[i]推得，所以尽管状态转移方程仍然为dp[v]=max{ dp[v] , dp[ v-c[i] ] + w[i] }，v的循环顺序却应该是从小到大。

 

　　基本上，这就是0/1背包和完全背包从二维转化为一维的思路，以后自己还要经常复习。

　　0/1背包的伪代码：

for i=1 to N
    for v=V to 0
        f[v]=max{dp[v],dp[v-c[i]]+w[i]}

　　完全背包的伪代码：

for i=1 to N
    for v=0 to V
        f[v]=max{dp[v],dp[v-c[i]]+w[i]}