BellmanFord算法与SPFA算法

​​​​​​

BellmanFord算法与SPFA算法

展开

Bellman-Ford

Bellman-Ford 算法是一种用于计算带权有向图中单源最短路径（SSSP：Single-Source Shortest Path）的算法。该算法由 Richard Bellman 和 Lester Ford 分别发表于 1958 年和 1956 年，而实际上 Edward F. Moore 也在 1957 年发布了相同的算法，因此，此算法也常被称为 Bellman-Ford-Moore 算法。

Bellman-Ford 算法和 Dijkstra 算法同为解决单源最短路径的算法。对于带权有向图 G = (V, E)，Dijkstra 算法要求图 G 中边的权值均为非负，而 Bellman-Ford 算法能适应一般的情况（即存在负权边的情况）。一个实现的很好的 Dijkstra 算法比 Bellman-Ford 算法的运行时间要低。

基本概念

负权边：权值为负数的边，称为负权边。

负环：环路中所有边的权值之和为负数，则称该环路为负环。

注意：带负环的图无法求最短路，因为可以沿着负环不停的循环，最短距离为负无穷大。

算法步骤

Bellman-Ford 算法采用动态规划（Dynamic Programming）进行设计，实现的时间复杂度为 O(V*E)O(V∗E)，其中 VV 为顶点数量，EE 为边的数量。Dijkstra 算法采用贪心算法（Greedy Algorithm）范式进行设计，普通实现的时间复杂度为 O(V^2)O(V2)，若基于堆优化的最小优先队列实现版本则时间复杂度为 O(E + VlogV)O(E+VlogV)。

Bellman-Ford 算法描述：

1. 创建源顶点 v 到图中所有顶点的距离的集合 dis[]dis[]，为图中的所有顶点指定一个距离值，初始均为 ∞∞，源顶点距离为 00；
2. 计算最短路径，执行 V - 1V−1 次遍历（松弛边）；
   • 对于图中的每条边：如果起点 uu 的距离 dd 加上边的权值 ww 小于终点 vv 的距离 dd，则更新终点 vv的距离值 dd；
3. 检测图中