矩阵快速幂

今天是ACM校内赛。虽然我没学过OI，没有退役的感觉，但很有可能之后就不打ACM了。
这里很感谢队友的帮助，过了2道题，有希望拿奖。

自己做的是F题，求$(7+4\sqrt 3 )^n$的整数部分。
一下子想到初中数学竞赛，$a_n=(7+4\sqrt 3 )^n+(7-4\sqrt 3 )^n$是整数。
怎么证的？求出递推方程$a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}$. 归纳法
那么怎么求呢？说来真是一段历史。
初中时我会递推地求，至少比硬算快，高中时我会求出用特征方程通项公式，厉害吧，现在的我，已然是程序员视角，会用矩阵快速幂。

初中的算法是$O(n)$的，高中是数学手段，计算机精度行不通，大学是$O(\log n)$，这是友好的。

何为快速幂，就是二分法，算分课讲过这个分治思想，但具体实现可以借助位运算。有些时候，算法的思想和具体实现有不小的差距。

matrix power(int n){
    matrix ans=initial;
    matrix c;
    while(n){
        if(n&1) ans=mult(ans,c);
        n>>=1;
        c=mult(c,c);
    }
    return ans;
}   

可以参考这里
以及这里

算法的原理是显然的，降为对数级。
至于$a_n$递推转化为矩阵乘法，高代、代组、算分课都讲过。例子是Fibonacci。
我因为要偷懒，只写一个2级矩阵乘法的函数，就这样写了，事实上可以是个2级矩阵乘以列向量。

$$\left[ \begin{matrix} a_{n+1} & a_n \\ a_n & a_{n-1} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a_{n} & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{n-2} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 & 1\\ -1 & 0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a_{2} & a_1 \\ a_1 & a_{0} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 & 1\\ -1 & 0 \end{matrix} \right] ^{n-1}$$
于是写个矩阵乘法，即可矩阵快速幂。
通常需要取模运算，就每一步对元素取模，如果是负数，可加上模数，以及long long是最后debug的关键。

码这题时我在想去年ACM室友说有一题是矩阵快速幂，忘了怎么写了，最后遗憾地放弃。于是一年里我一直记得快速幂，没想到今年又考到了，这是一种轮回。但不同的是，我进步了。