参数估计

样本的统计量

设随机变量$X$的$N$个样本为$X_1,X_2,...,X_n$，则
1. 样本均值为：

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i，$$
2. 样本的方差为： $$S^2=\frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}(X_i-\overline X)^2$$
样本方差的分母使用 $n-1$而非 $n$是为了无偏

样本的矩

1. $k$阶样本原点矩 $$A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^k$$
   • $k$阶样本中心矩 $$M_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^k$$

   • 矩估计

     矩估计，即矩估计法，也称“矩法估计”，就是利用样本矩来估计总体中相应的参数。首先推导涉及感兴趣的参数的总体矩（即所考虑的随机变量的幂的期望值）的方程。然后取出一个样本并从这个样本估计总体矩。接着使用样本矩取代（未知的）总体矩，解出感兴趣的参数。从而得到那些参数的估计。
     1. 设总体的期望为$\mu$，方差为$\sigma^2$（$\mu$和$\sigma$未知，待求），则有
     原点矩表达式：

     $$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} E(X)=\mu\\ E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=\sigma^2+\mu^2 \end{aligned} \right. \end{equation}$$

     根据该总体的一组样本，求得原点矩：

     $$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} A_1=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\\ A_2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\\ \end{aligned} \right. \end{equation}$$
     2. 矩估计的结论：
     1. 根据各自阶的中心矩相等，计算得到：