随机事件及其概率运算

最新推荐文章于 2025-06-04 14:52:43 发布

Vi_NSN

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分类专栏：概率论与数理统计文章标签：概率论与数理统计

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这篇博客介绍了概率论的基础概念，包括古典概型和事件间的关系。详细讨论了事件的包含、相等、互不相容和对立，以及事件的和、积和差运算。还通过布丰投针实验和贝特朗奇论两个著名实例，阐述了概率计算的实际应用。

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也称为等可能概型，如果每个基本情况都等可能出现，此时某一事件的概率为：

P (A) = 事 件 A 包 含 的 基 本 事 件 数 全 部 可 能 的 基 本 事 件 数 或 P (A) = 事 件 A 所 占 区 域 大 小 样 本 空 间 所 占 区 域 大 小

$P(A)=\frac{事件A包含的基本事件数}{全部可能的基本事件数}或P(A)=\frac{事件A所占区域大小}{样本空间所占区域大小}$

(1) 包 含 关 系 ： 若 事 件 A ， B 满 足 A \subset B ， 则 称 事 件 B 包 含 事 件 A ， 用 示 性 函 数 表 示 为 I A (ω) \leq I B (ω)

$(1)包含关系：若事件A，B满足A \subset B，则称事件B包含事件A，用示性函数表示为I_A(\omega) \le I_B(\omega)$

(2) 相 等 关 系 ： 若 事 件 A ， B 满 足 A \subset B ， 且 B \subset A 则 称 事 件 A 与 事 件 B 相 等 (或 等 价) ， 为 同 一 事 件 ， 用 示 性 函 数 表 示 为 I A (ω) = I B (ω)

$(2)相等关系：若事件A，B满足A \subset B，且B \subset A则称事件A与事件B相等(或等价)，为同一事件，用示性函数表示为I_A(\omega) = I_B(\omega)$

(3) 互 斥 关 系 (互 不 相 容 关 系) ： 若 事 件 A ， B 不 可 能 同 时 发 生 ， 则 称 事 件 A 与 事 件 B 互 斥 ， 此 时 A B = Φ 。 用 示 性 函 数 表 示 为 I A (ω) I B (ω) = 0

$(3)互斥关系(互不相容关系)：若事件A，B不可能同时发生，则称事件A与事件B互斥，此时AB = \Phi。用示性函数表示为I_A(\omega) I_B(\omega) = 0$

(4) 对 立 关 系 ， 两 个 事 件 A 、 B 中 ， " A 不 发 生 " ， 则 A 、 B 称 为 具 有 对 立 关 系 (或 互 逆 关 系) ， 又 称 为 B 为 A 的 对 立 事 件 ， 记 为 B = A ¯ 。 用 示 性 函 数 表 示 为 I A (ω) + I B (ω) = 1

$(4)对立关系，两个事件A、B中，"A不发生"，则A、B称为具有对立关系(或互逆关系)，又称为B为A的对立事件，记为B=\bar{A}。用示性函数表示为I_A(\omega) +I_B(\omega) = 1$

A + B 或 者 A \cup B = {x | x \in A 或 x \in B}

$A + B 或者 A \cup B = \{x | x \in A 或 x \in B\}$

A \cap B = {x | x \in A 且 x \in B}

$A \cap B = \{x | x \in A 且 x \in B\}$

A - B = {x | x \in A 且 x \notin B} = A B ¯

$A - B = \{x | x \in A 且 x \notin B \} = A\bar{B}$

P (Φ) = 0 ， P (Ω) = 1 ， P (A ¯) = 1 - P (A) ， P (A - B) = P (A) - P (A B) ， P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B)

$P(\Phi) = 0，P(\Omega) = 1， P(\bar{A}) = 1 - P(A)，P(A-B) = P(A) - P(AB)，P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

1）取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。
2）取一根长度为l（l≤a）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m。
3）计算针与直线相交的概率．
概率为：

P = 2 l Π a

$P=\frac{2l}{\Pi a}$

在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。该问题如图，有三种解决方法。

1 ． 如 图 1 第 一 幅 图 ， 在 垂 直 于 三 角 形 任 意 一 边 的 直 径 上 随 机 取 一 个 点 ， 并 通 过 该 点 做 一 条 垂 直 于 该 直 径 的 弦 ， 由 圆 内 接 正 三 角 形 的 性 质 可 得 ， 在 该 点 位 于 半 径 中 点 的 时 候 弦 长 度 等 于 三 角 形 的 边 长 度 ， 当 点 离 圆 心 的 距 离 小 于 1 2 r 时 弦 长 度 大 于 三 角 形 边 长 。 所 以 概 率 P = 1 2

$1．如图1第一幅图，在垂直于三角形任意一边的直径上随机取一个点，并通过该点做一条垂直于该直径的弦，由圆内接正三角形的性质可得，在该点位于半径中点的时候弦长度等于三角形的边长度，当点离圆心的距离小于\frac{1}{2}r 时弦长度大于三角形边长。所以概率 P=\frac{1}{2}$

2 ． 如 图 b ， 通 过 三 角 形 任 意 一 个 顶 点 做 圆 的 切 线 ， 因 为 等 边 三 角 形 内 角 为 60 ° ， 所 以 左 边 右 边 的 角 都 是 60 ° 。 由 该 顶 点 做 一 条 弦 ， 弦 的 另 一 端 在 圆 上 任 意 一 点 。 由 图 可 知 弦 与 切 线 成 60 ° 角 和 120 ° 角 之 间 的 时 候 弦 长 度 大 于 三 角 形 边 长 。 所 以 概 率 P = 1 3

$2．如图b，通过三角形任意一个顶点做圆的切线，因为等边三角形内角为60°，所以左边右边的角都是60°。由该顶点做一条弦，弦的另一端在圆上任意一点。由图可知弦与切线成60°角和120°角之间的时候弦长度大于三角形边长。所以概率P= \frac{1}{3}$

3 ． 如 图 1 第 三 幅 图 ， 当 弦 的 中 点 在 阴 影 标 记 的 圆 内 时 ， 弦 的 长 度 大 于 三 角 形 的 边 长 ， 而 大 圆 的 弦 中 点 一 定 在 圆 内 ， 大 圆 的 面 积 是 Π r 2 ， 小 圆 的 面 积 是 Π (r 2) 2 。 所 以 概 率 P = 1 4

$3．如图1第三幅图，当弦的中点在阴影标记的圆内时，弦的长度大于三角形的边长，而大圆的弦中点一定在圆内，大圆的面积是\Pi r^2 ，小圆的面积是\Pi (\frac{r}{2})^2 。所以概率P=\frac{1}{4}$