揭秘整数内存密码：从原码到补码，读懂计算机 “数字语言”

1.1. int类型变量的声明、定义、赋值

在C/C++语言中，有很多种类型，而整型是用的最多的

声明一个变量：

int num; // 声明一个整型变量

声明并初始化一个变量：

int cnt = 0; // 声明并初始化一个变量

先声明一个变量，再赋值：

	// 先声明一个变量 再赋值
	int exm; // 声明一个变量，它的值是随机的
	exm = 10;// 给这个变量赋值

上面这两行代码和int exm = 10;的作用是一样的，但是赋值和初始化是两个不同的操作，

赋值是给已经存在的变量进行操作，初始化是在变量定义时进行操作

1.2. 未初始化的变量

必须强调这里未初始化的危险。如果一个变量没有初始化，C/C++ 编译器不会报告错误，甚至不会发出警告。C/C++标准中未初始化变量的值也没有明确定义。你可能会从一个未初始化的变量中得到一个随机值。为了程序的健壮性，强烈建议初始化变量，哪怕不知道这个变量到底值为多少，初始化成0也是很好的

int main() {
	int num1;
	int num2 = 10;
	cout << num1 << endl << num2 << endl;
}

VS2022强制检查，报错了

使用C语法也一样报错

2. 其他的整型

int 的宽度（以位为单位）在 C 和 C++ 标准中并不是固定的。标准 int 应具有 32 位。除了 int，还有 short int、long int 和 long long int``short int 是 16 位。int 是 16 位或 32 位。long int 是 32 位或 64 位（取决于编译器）。long long int 是 64 位。char 也是一种常用的整数类型。有人可能会感到困惑，认为 char 仅用于字符。由于字符被编码为整数值，char 确实是一种整数类型，并且具有 8 位。char 对英语字符来说足够宽，但对中文和其他一些字符则不够。char16_t 和 char32_t 已在 C++11 中引入，表示 16 位和 32 位的范围。

char c = 'C'; // ASCII码为80

char c = 80;// 十进制80

char c = 0x50;// 十六进制50 转为十进制80

上面这三行代码是等效的，在我们编码时，看着每个变量的类型不同，其实到计算机底层，所有数据都被表示成01串了，机器只能识别01两个指令

以下是各个整型类型所占空间大小

类型	所占字节大小
char	8
short (short int)	16
int	16 or 32
long (long int)	32 or 64
long long (long long int)	64

我们可以用sizeof操作符来获取类型大小

int main() {
	cout << sizeof(char) << endl;
	cout << sizeof(short) << endl;
	cout << sizeof(int) << endl;
	cout << sizeof(long) << endl;
	cout << sizeof(long long) << endl;

	return 0;
}

在我的机器上long是四字节

有符号和无符号数

signed 或 unsigned 可以在整数类型名称之前使用，以指示整数是有符号的还是无符号的。当整数是有符号时，关键字 signed 可以省略。这意味着 int 是用于 signed int，而 short 是用于 signed short。如果整数是有符号的，最高位（int 的第 32 位）将是其符号位。如果符号位为 1，则为负数；如果为 0，则为正数。

有符号整数和无符号整数如下面的图所示：

3. 整型数据的存储

3.1. 原码表示法

数据在底层用0和1这两个数存储，一个字节(8bit)可以表达多少个数？————>每个位置两种选择，共八个位置：$2^8$个

对于无符号数来说，最大的数就是$(2^8-1)$

那怎么表示负数呢？牺牲最高位作为符号位，符号位为 1，则为负数；如果为 0，则为正数。，这便是原码

这样就能得到以下分类：

符号位后两个极端，全0或者全1，正数可以表达$2^7$个，负数也可以表达$2^7$个，但是出现一个问题：0被重复表达了两次！+0和-0，所以，原码表示法出现了缺陷：

• 0的表示并不唯一，计算机是机器，不是人，无法理解多义的表达
• 加法、减法的运算方式并不统一，减法需要借位，逻辑复杂

所以，引入补码

3.2. 补码表示法

3.2.1 模运算的引入

对于一个钟表，假定指针指向了10点的位置，我现在要将其拨到6点位置，有两种方式：

• 倒拨四格：$10-4=6$
• 顺拨八格：$10+8———>6$，转完了一圈，18 % 12 = 6

钟表是一个模十二的系统：那么就可以理解为$10-4=10+8=10+(12-4)$

这里的-4和8是相等的关系，那么就可以说8的补码是-4，同样的，9的补码是-3

在模十二的系统中，都遵循着一个原则：互为补码的两个数，不管符号，相加和为12，8+4，9+3，10+2的结果都是12

那么，在一个模$x$的运算系统中，有两个数 $1$ 和 $-n$，一定满足$1+n=x$

那么就引出了补码的运算：加法和减法的运算逻辑相同

如果做减法，我们只需要加上这个数的补码即可，将减法转换成了加法，这样加减法共用一套逻辑

3.2. 补码表示法

**”8位2进制数“模运算系统(mod$2^8$)**中，有两个数 $1$ 和 $-n$，一定满足$1+n=2^8$

现在用$2^8$减去一个1，即是

1 0000 0000 - 0000 0001————> 得到1111 1111，这个数，是-1的表达，所以-1的表达，就是$2^8$减去1，相当于把原来的0000 0001各位取反再加1————>1111 1111，现在使得1111 1111 + 0000 0001————>1 0000 0000即是$2^8$，这便是负数的补码

正数的补码是正数本身，负数的补码是符号位不变，其他位取反，末位加一

例如：-1：原码1000 0001 补码：1111 1111

现在回到之前的分类：

这样原来的-0：1000 0000就可以表示一个更小的数了

我们再将1000 0000转换成原码检查一下：

除了符号位全部取反->1111 1111，末尾＋1->1 0000 0000，

八位存不下，最高位截断：0000 0000 ->0 $0+2^8=2^8$，满足“8位2进制数“模运算系统(mod$2^8$)的规则

以下是常见整型的取值范围：

我们可以继续用一个圆来理解：

short int等其他类型同理

4. 小案例

4.1. 规定：若运算中同时有无符号和带符号整数，则按无符号整数运算

关系运算符	类型	结果	说明
0 == 0U	无符号	1	同为零
-1 < 0	有符号	1	有符号类型-1<0
-1 < 0U	无符号	0	11…11($2^{32}-1$) > 0
2147483647 > -2147483647 -1	有符号	1	正数 >负数
2147483647U > -2147483647 - 1	无符号	0	01…1($2^{31}-1$)<10…0($2^{31}$)
2147483647 >(int)2147483647U	有符号	1	01…1($2^{31}-1$)>10…0($-2^{31}$)
-1 >-2	有符号	1	有符号类型-1>-2
(unsigned)-1 > -2	无符号	1	11…11($2^{32}-1$) > 11…10($2^{32}-2$)

对于int和unsigned int： $2^{31}-1>-2^{31}$

4.2. 计算机的世界只有0和1，具体怎么解读靠人的定义

int main() {
	int x = -1;
	unsigned u = 2147483648;
	printf("x = %u = %d\n", x, x);
	printf("u = %u = %d\n", u, u);

	return 0;
}

1. 对于变量 x = -1：
   • 在内存中，-1 作为 32 位有符号整数（补码）存储为全 1：11111111 11111111 11111111 11111111
   • 当用 %u（无符号整数格式）输出时，这个二进制被解读为无符号数，值为 4294967295（2³²-1）
   • 当用 %d（有符号整数格式）输出时，正确解读为 -1
2. 对于变量 u = 2147483648：
   • 作为无符号整数，它的二进制是 10000000 00000000 00000000 00000000
   • 当用 %u 输出时，正确显示为 2147483648
   • 当用 %d 输出时，这个二进制被解读为有符号整数（补码），由于最高位是 1（符号位），表示这是一个负数。在 32 位有符号整数中，这个值恰好是最小的负数 -2147483648

这个例子展示了C/C++整数的二进制存储本质：相同的二进制序列，根据解释方式（有符号 / 无符号）的不同，会呈现出完全不同的数值。格式化字符 %d 和 %u 决定了如何解读内存中的二进制数据，而不是改变数据本身。

int main() {
	int b = -1;
	char c = -1;
	printf("%u,%u\n",b, c);

	return 0;
}

1. 变量存储分析：
   • int b = -1：作为 32 位有符号整数，-1的补码表示为全 1（11111111 11111111 11111111 11111111）
   • char c = -1：在大多数系统中char是 8 位，-1的补码表示为11111111
2. printf输出规则：
   • 当使用%u（无符号整数格式）输出时，所有整数类型都会被提升为unsigned int
   • b作为 int 直接转换为 unsigned int，全 1 的 32 位二进制对应4294967295
   • c作为 char 首先进行符号扩展（因为是有符号 char），8 位的11111111扩展为 32 位的11111111 11111111 11111111 11111111，再转换为 unsigned int 也得到4294967295
   • 

这个例子展示了C/C++整数提升和符号扩展的规则：当小整数类型参与表达式运算或格式化输出时，会先提升为 int （有符号扩展），再根据格式控制符进行相应转换。