数学中的图像重构 -- CT中的 Radon 变换 图解

这是我之前在剑桥大学上的一节研究生应数选修课 Image Reconstruction，之前没怎么听懂，所以这段时间想把它补起来。
这节课老师没有明确的讲义，所以我就照记着的一些书的顺序，把它复习了。
整堂课只有我一个人上 QAQ，所以应该算是在数学系里比较小众的方向吧。
因此这篇笔记 基本上是为了 我自己以后查资料或公式好找一点。
笔记部分摘自 Mathematical Methods in Image Reconstruction. F.Natterer and F.Wuebbeling.

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引言

图像重构 Intro

Radon Transform 拉东变换 $\mathcal{R}f$

• 拉东变换是一个积分变换

• 先它将定义在二维平面上的一个函数 $f(x_1,x_2)$ 沿着平面上的任意一条直线做线积分，相当于对函数 $f(x_1,x_2)$ 做 CT扫描

• 令 X射线 在 $x$ 点 线性衰减后 为$f(x)$。 那么 X射线光束 $L$ 经过的部分成像就是 $g(L)={\int }_{L}f(x)dx$ 。

• 如果我们用 $s$ （原点到射线的距离）与 $\theta$ （距离的夹角）表示射线 $L$， 如图：

• 可得这条直线为 L ( θ , s ) = { x ∈ R 2 : x ⋅ θ = s } ,    θ ∈ S 1 ,    s ∈ R 1 L(\theta,s) = \{x\in \R^2: x\cdot \theta = s\},\; \theta \in S^1, \; s\in \R^1 L(θ,s)={ x∈R2:x⋅θ=s},θ∈S1,s∈R1

• 可得如下方程：

$$g(\theta ,s)={\int }_{x\cdot \theta =s}f(x)dx=(\mathcal{R}f)(\theta ,s)$$

• 用python把它表示出来：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# 为了之后扩展到 n 维 这里用 x_1 x_2 表示  
x1 = np.arange(-10,10.01,.01) # x_1 可以理解为 二维(x,y) 坐标轴的x
x2 = np.arange(-10,10.01,.01) # x_2 可以理解为 二维(x,y) 坐标轴的y
xv = np.meshgrid(x1,x2) # 网格化
degree = 45 # theta 角度  
theta = degree/180 *np.pi
s = 2. # s 长度
Lv = abs(xv[0]*np.cos(theta) + xv[1]*np.sin(theta)-s) # x1*cos(theta) + x2*cos(theta) - s = 0
L = np.max((Lv<0.01)*xv[1],axis=0)+np.min((Lv<0.01)*xv[1],axis=0) # 筛选出 满足条件的值
# L.nonzero()  L 的非零值坐标  
plt.plot(x1[L.nonzero()],L[L.nonzero()],'blue')
plt.show()

• 我还做了变量为 $s$ 和 $\theta$ 的动图：

• 接下来，把它拓展到更高维度 n 维。
• 构筑 n 维超平面 H ( θ , s ) = { x ∈ R n : x ⋅ θ = s } ,    θ ∈ S n − 1  (unit sphere)  ,    s ∈ R 1 H(\theta,s) = \{x\in \R^n: x\cdot \theta = s\},\; \theta \in S^{n-1} \text{ (unit sphere) }, \; s\in \R^1 H(θ,s)={ x∈Rn:x⋅θ=s},θ∈Sn−1 (unit sphere) ,s∈R</