C++实现爬楼梯问题

最新推荐文章于 2024-09-26 17:56:09 发布

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#算法 #数据结构

这篇博客介绍了如何使用动态规划解决爬楼梯问题，通过定义dp数组和递推公式dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]，并初始化dp[1]=1, dp[2]=2，实现了计算到达楼顶的不同爬楼梯方法数。代码优化版使用了滚动数组减少空间复杂度。

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶
- 2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶

解题思路：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

确定递推公式

从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。

首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。

还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。

那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！

所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。

dp数组如何初始化
```
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
```
确定遍历顺序

从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的

举例推导dp数组

n = 6时：

i： 1 2 3 4 5 6

dp[1]: 1 2 3 5 8 13

以上分析完毕后，就可以写出代码：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n; // 因为下面直接对dp[2]操作了，防止空指针
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) { // 注意i是从3开始的
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
};

代码优化：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        int dp[3];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            int sum = dp[1] + dp[2];
            dp[1] = dp[2];
            dp[2] = sum;
        }
        return dp[2];
    }
};