Newcoder 40 E.珂朵莉的数论题（数论+二分+容斥）

最新推荐文章于 2022-07-20 17:30:20 发布

v5zsq

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分类专栏： Newcoder 数论二分三分组合数学

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/V5ZSQ/article/details/83301729

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本文介绍了一种求解特定条件下最小质因数为给定质数的正整数问题的算法。通过分类讨论，利用线性筛法和二分搜索结合容斥原理，高效解决该数学难题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

珂朵莉想求：

第 $x$ 小的正整数 $v$ 使得其最小的质因数为质数 $y$ ，即正好有 $x - 1$ 个 $[1, v - 1]$ 之内的正整数满足其最小的质因数为质数 $y$ 。

若答案超过 $1000000000$ 则输出 $0$ 。

Input

第一行两个正整数 $x, y$

$(1≤x,y≤109)(1\le x,y\le 10^9)$

Output

输出一个整数表示答案

Sample Input

2 3

Sample Output

Solution

分类讨论，若 $y≥Sy\ge S$ ，线性筛出 $[1,⌊109y⌋][1,\lfloor\frac{10^9}{y}\rfloor]$ 中所有不以小于 $y$ 的素数为因子的数即可；若 $y≤Sy\le S$ ，取适合的 $S$ 使得小于 $y$ 的素数不太多，二分答案 $m i d$ ，容斥求出 $[1,⌊midy⌋][1,\lfloor\frac{mid}{y}\rfloor]$ 中不以小于 $y$ 的素数为因子的数即可， $S$ 取 $60$ 左右即可

Code

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=16700000,S=60;
vector<int>p;
bool mark[maxn],vis[66];
void prime(int n)
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(!vis[i])
		{
			p.push_back(i);
			for(int j=2*i;j<=n;j+=i)vis[j]=1;
		}
}
int check(int n,int m)
{
	int M=1<<m,ans=n;
	for(int i=1;i<M;i++)
	{
		int num=0,temp=n;
		for(int j=0;j<m;j++)
			if((i>>j)&1)
				num++,temp/=p[j];
		if(num&1)ans-=temp;
		else ans+=temp;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int x,y;
	scanf("%d%d",&x,&y);
	if(y>=S)
	{
		int n=1e9/y;
		if(n<x)printf("0\n");
		else
		{
			for(int i=2;i<y;i++)
				if(!mark[i])
					for(int j=i;j<=n;j+=i)mark[j]=1;
			int res=0;
			for(int i=1;i<=n;i++)
				if(!mark[i])
				{
					res++;
					if(res==x)
					{
						printf("%d\n",i*y);
						break;
					}
				}
			if(res<x)printf("0\n");
		}
	}
	else
	{
		prime(S);
		int m;
		for(int i=0;i<p.size();i++)
			if(p[i]==y)
			{
				m=i;
				break;
			}
		int l=1,r=1e9/y,mid,ans=0;
		while(l<=r)
		{
			mid=(l+r)/2;
			if(check(mid,m)>=x)ans=mid*y,r=mid-1;
			else l=mid+1;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}