Newcoder 84 D.k进制数（数论+map）_对于k进制数x,定义d(x)为x的各数位的和的k进制表示,如果结果超过一位,则继续重复-优快云博客

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本文探讨了在特定进制下，如何计算满足特定条件的幸运数字子串的数量。通过定义d(x)为一个数的各位数之和，并在超过一位数时递归求和，直到结果为一位数。幸运数字定义为d(x)=b。文章提供了算法思路和代码实现，使用前缀和与哈希映射来高效解决该问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

对于 $k$ 进制数 $x$ ，定义 $d (x)$ 为 $x$ 的各数位的和的 $k$ 进制表示，如果结果超过一位，则继续重复执行各数位求和操作，直至结果为 $1$ 位。

比如说，在 $7$ 进制下， $d(3504_7)=d((3+5+0+4)_7)=d(15_7)=d((1+5)_7)=d(6_7)=6$

定义 $x$ 为幸运的，当且仅当 $d (x) = b$ ；

现在给定 $k$ 进制下的 $n$ 个数位 $a_1 a_2 ...a_n$ ，问其中有多少子串组成的数字是幸运的。

Input

第一行三个整数 $k, b, n$

第二行 $n$ 个整数 $a_i$

$(2≤k≤109,0≤b<k,1≤n≤105,0≤ai<k)(2\le k\le 10^9,0\le b<k,1\le n\le 10^5,0\le a_i<k)$

Output

输出一个整数表示幸运的子串数。

Sample Input

10 5 6
3 2 0 5 6 1

Sample Output

Solution

显然 $d(x)=(x−1)%(k−1)+1d(x)=(x-1)\%(k-1)+1$ ， $d (x) = 0$ 当且仅当 $x$ 每位都为 $0$ ，首先统计连续为 $0$ 的段的个数 $r e s$ ，如果 $b = 0$ 则答案即为 $r e s$ ，如果 $b = k - 1$ ，为方便统计，直接令 $d(x)=x%(k−1)d(x)=x\%(k-1)$ ，如此求出的满足 $d (x) = 0$ 的子串本质上是 $d (x) = 0, k - 1$ 的子串数量和，该值减去 $r e s$ 即为答案

现在考虑求满足 $d (x) = b$ 的子串个数，令 $s_i=(a_1+...+a_{i})\%(k-1)$ ，那么以 $i$ 为右端点的合法区间 $[j, i]$ 需要满足 $k−1)s_i-s_{j-1}\equiv b(mod\ k-1)$ ，用 $m a p$ 统计每种前缀和出现次数即可

Code

#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100005;
map<int,int>M;
int k,b,n,a[maxn];
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&k,&b,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	ll ans=0;
	for(int i=1,pre=1;i<=n;i++)
	{
		if(a[i])pre=i+1;
		else ans+=i-pre+1;
	}
	if(b==0)
	{
		printf("%lld\n",ans);
		return 0;
	}
	if(b==k-1)ans=-ans,b=0;
	else ans=0;
	M[0]=1;
	for(int i=1,res=0;i<=n;i++)
	{
		res=(res+a[i])%(k-1);
		ans+=M[(res-b+k-1)%(k-1)];
		M[res]++;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}