Newcoder 139 B.Symmetric Matrix（dp+组合数学）

Description

求满足下列条件的$n\times n$矩阵的个数：

1.$A_{i,j}\in\{0,1,2\},1\le i,j\le n$

2.$A_{i,j}=A_{j,i},1\le i,j\le n$

3.$A_{i,1}+A_{i,2}+...+A_{i,n}=2,1\le i\le n$

4.$A_{1,1}=A_{2,2}=...=A_{n,n}=0$

Input

多组用例，每组用例输入两个整数$n,m(1\le n\le 10^5,1\le m\le 10^9,\sum n\le 10^7)$

Output

输出满足条件的矩阵个数，结果模$m$

Sample Input

3 1000000000
100000 1000000000

Sample Output

1
507109376

Solution

将该矩阵看作一无向图的邻接矩阵，则问题等价于求$n$个节点、无自环、每点度数为$2$的无向图个数。一条无向边产生两个度，故该图只有$n$条边，加之每点无自环且度数为$2$，故该图必然由若干简单环组成。令$dp(n)$表示$n$个节点的满足条件的图的个数，考虑第$n$个节点所处环的大小，如果第$n$个点在一个长度为$2$环中，那么方案数为$(n-1)dp(n-2)$，如果第$n$个点在一个长度为$k+1$的环$(k\ge 2)$，从$n-1$个点中选出$k$个点的排列数为$A_{n-1}^k=\frac{(n-1)!}{(n-1-k)!}$，由于选出的$k$个点和第$n$个点组成环，故顺时针和逆时针方向等价，进而有转移

$dp(n)=(n-1)dp(n-2)+\sum\limits_{k=2}^{n-1}\frac{(n-1)!}{2(n-1-k)!}dp(n-1-k)=(n-1)dp(n-2)+\sum\limits_{k=0}^{n-3}\frac{(n-1)!}{2k!}dp(k)$

令$g(n)=\sum\limits_{k=0}^{n-3}\frac{(n-1)!}{2k!}dp(k)$，进而有$g(n)=(n-1)g(n-1)+\frac{(n-1)(n-2)}{2}dp(n-3)$

考虑到$(n-1)dp(n-1)=(n-1)(n-2)dp(n-3)+(n-1)g(n-1)$，故有以下递推式

$dp(n)=(n-1)(dp(n-1)+dp(n-2))-\frac{(n-1)(n-2)}{2}dp(n-3)$，$O(n)$预处理即可$O(1)$查询

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,dp[100005];
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        dp[1]=0;dp[2]=dp[3]=1%m;
        for(int i=4;i<=n;i++)
        {
            int t1=(ll)(i-1)*(dp[i-1]+dp[i-2])%m;
            int t2=(ll)(i-1)*(i-2)/2%m*dp[i-3]%m;
            dp[i]=(t1-t2+m)%m;
        }
        printf("%d\n",dp[n]);
    }
}