CodeForces 891 E.Lust（生成函数）

最新推荐文章于 2020-03-21 19:42:54 发布

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生成函数

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本文介绍了一种解决特定数学问题的方法，即计算一系列数字经过多次随机操作后乘积的期望值。通过定义变量和数学推导，将问题转化为生成函数的形式，并给出了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一长度为 $n$ 的序列 $a_1,...,a_n$ ，每次操作等概率的从 $1$ ~ $n$ 中选一个数 $x$ ，把这 $n$ 个数去掉 $a_x$ 后的乘积加到答案里，然后把 $a_x$ 减一，问 $k$ 次操作后答案的期望值

Input

第一行输入两个整数 $n,k$ ，之后输入 $n$ 个整数 $a_i(1\le n\le 5000,1\le k\le 10^9,0\le a_i\le 10^9)$

Output

保证答案可以写成最简分数形式 $\frac{P}{Q}$ ，输出 $P\cdot Q^{-1}\ mod 10^9+7$

Sample Input

2 1
5 5

Sample Output

Solution

假设某次操作前这 $n$ 个数字变成 $a_i-b_i$ ， $b_i$ 为 $i$ 被选中的次数

当前操作选中了 $x$ ，那么该次操作的贡献为 $\prod\limits_{i\neq x}(a_i-b_i)=\prod\limits_{i=1}^n(a_i-b_i)-(a_i-(b_i+1))\prod\limits_{i\neq x}(a_i-b_i)$

不妨设 $c_i=b_i,i\neq x,c_x=b_x+1$ 为该次操作结束后 $i$ 被选中的次数

那么本次操作的贡献可以写成： $\prod\limits_{i=1}^n(a_i-b_i)-\prod\limits_{i=1}^n(a_i-c_i)$

计算该交错和得总贡献为 $\prod\limits_{i=1}^na_i-\prod\limits_{i=1}^n(a_i-b_i)$ ，其中 $b_i$ 为 $k$ 次操作后 $i$ 被选中的次数， $\sum\limits_{i=1}^nb_i=k$

故答案的期望值为 $\frac{1}{n^k}\sum_{\sum\limits_{i=1}^nb_i=k}\frac{k!}{\prod\limits_{i=1}^nb_i!}(\prod\limits_{i=1}^na_i-\prod\limits_{i=1}^n(a_i-b_i))=\prod\limits_{i=1}^na_i-\frac{k!}{n^k}\sum_{\sum\limits_{i=1}^nb_i=k}\prod\limits_{i=1}^n\frac{a_i-b_i}{b_i!}$

令 $P_j(x)$ 为上述求和式中第 $j$ 项对答案的贡献，则有 $P_j(x)=\sum\limits_{i\ge 0}\frac{a_j-i}{i!}x^i,1\le j\le n$

化简得 $P_j(x)=a_j\sum\limits_{i\ge 0}\frac{1}{i!}x^i-x\sum\limits_{i\ge 1}\frac{1}{(i-1)!}x^{i-1}=(a_j-x)\cdot e^x$

记 $f(k)=\sum_{\sum\limits_{i=1}^nb_i=k}\prod\limits_{i=1}^n\frac{a_i-b_i}{b_i!}$ ，考虑其生成函数 $F(x)=\sum\limits_{i\ge 0}f(i)\cdot x^i$

有 $F(x)=\prod\limits_{j=1}^nP_j(x)=e^{nx}\cdot \prod\limits_{j=1}^n(a_j-x)=e^{nx}\cdot G(x)$

$O(n^2)$ 直接计算得 $G(x)=\sum\limits_{i=0}^ng_i\cdot x^i$ ，进而有:

$f(k)=[x^k]F(x)=\sum\limits_{i=0}^{min(n,k)}[x^i]G(x)\cdot [x^{k-i}]e^{nx}=\sum\limits_{i=0}^{min(n,k)}g_i\cdot \frac{n^{k-i}}{(k-i)!}$

故答案为 $\prod\limits_{i=1}^na_i-\frac{k!}{n^k}f(k)=\prod\limits_{i=1}^na_i-\sum\limits_{i=0}^{min(n,k)}g_i\cdot \frac{\prod\limits_{j=k-i+1}^kj}{n^i}$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=5005;
#define mod 1000000007
int n,k,v[maxn],a[maxn],b[maxn];
void inc(int &x,int y)
{
    x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
void dec(int &x,int y)
{
    x=x-y<0?x-y+mod:x-y;
}
int Pow(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(ll)ans*a%mod;
        a=(ll)a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&k))
    {
        int ans=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&v[i]),ans=(ll)ans*v[i]%mod;
        a[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=0;j<i;j++)
            {
                inc(b[j],(ll)v[i]*a[j]%mod);
                dec(b[j+1],a[j]);
            }
            for(int j=0;j<=i;j++)a[j]=b[j],b[j]=0;
        }
        int m=min(n,k),p=1,q=1,inv=Pow(n,mod-2);
        for(int i=0;i<=m;i++)
        {
            dec(ans,(ll)p*a[i]%mod*q%mod);
            p=(ll)p*(k-i)%mod;
            q=(ll)q*inv%mod;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}