HDU 6158 The Designer（Descartes定理）

Description

给出大小圆半径，按此顺序一个个放$n$个小圆，问所有小圆面积之和

Input

第一行一整数$T$表示用例组数，每组用例首先输入两个圆的半径$R_1,R_2$，之后输入要放的小圆数量$n$

$(1\le T\le 1200,1\le R_1,R_2\le 100,1\le n\le 10^7)$

Output

输出小圆面积之和，保留五位小数

Sample Input

2
5 4
1
4 5
1

Sample Output

3.14159
3.14159

Solution

首先给出圆的曲率$k=\pm\frac{1}{r}$，其中$r$为圆的半径，如果该圆外切于其他圆则取正，内切于其他圆则取负

然后给出$Descartes$定理：设四个两两相切的圆的曲率分别为$k_1,k_2,k_3,k_4$，则有$(k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2)$

对于该题，由于加入的小圆除第一个外两两对称，只求一边即可，取$k_1=-\frac{1}{R_1}$为外侧大圆的曲率，$k_2=\frac{1}{R_2}$为内侧大圆的曲率，加入的第一个圆半径为$R_1-R_2$，故其曲率为$k_3=\frac{1}{R_1-R_2}$，根据$Descartes$定理求出第二三个圆的曲率为$k_4=k_1+k_2+k_3+\sqrt{k_1k_2+k_1k_3+k_2k_3}=k_1+k_2+k_3$，求出$k_4$后，为了求第四五个圆的曲率，相当于把$k_3$换成$k_4$继续该过程，注意到

$(k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2)$

$(k_1+k_2+k_4+k_5)^2=2(k_1^2+k_2^2+k_4^2+k_5^2)$

两式做差得$k_3+k_5=2(k_1+k_2+k_4)$，在求其他小圆过程中$k_1,k_2$不变，$k_3,k_4$为上两步求出的圆的曲率，故每次可以线性求出新加入的圆的曲率

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define eps 1e-13
#define PI acos(-1.0)
int main()
{
    int T,r1,r2,n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d",&r1,&r2,&n);
        if(r1<r2)swap(r1,r2);
        double k1=-1.0/r1,k2=1.0/r2,k3=1.0/(r1-r2),k4=k1+k2+k3;
        double ans=(r1-r2)*(r1-r2);
        for(int i=2;i<=n;i+=2)
        {
            double r=(1.0/k4)*(1.0/k4);
            if(r<eps)break;
            ans+=r;
            if(i+1<=n)ans+=r;
            double k5=2.0*(k1+k2+k4)-k3;
            k3=k4,k4=k5;
        }
        printf("%.5f\n",PI*ans);
    }
    return 0;
}