HDU 6156 Palindrome Function（数位DP）

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数位DP

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本文介绍了一个利用数位动态规划(DP)解决特定范围内回文数计数问题的方法。具体地，给定两个整数范围[L, R]及进制范围[l, r]，文章详细阐述了如何通过数位DP算法高效计算出所有可能的回文数数量。该算法的核心在于定义了一个四维的状态转移方程，并通过递归函数实现了状态的遍历。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

定义函数 $f(n,k)$ ，如果 $n$ 在 $k$ 进制下是回文数则 $f(n,k)=k$ ，否则 $f(n,k)=1$ ，给出 $L,R,l,r$ ，求 $\sum\limits_{i=L}^R\sum\limits_{j=l}^rf(i,j)$

Input

第一行输入一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入四个整数 $L,R,l,r$

$(1\le T\le 10^5,1\le L\le R\le 10^9,2\le l\le r\le 36)$

Output

对于每组用例，输出答案

Sample Input

3
1 1 2 36
1 982180 10 10
496690841 524639270 5 20

Sample Output

Case #1: 665
Case #2: 1000000
Case #3: 447525746

Solution

进制范围较小，直接枚举，问题变成求 $1$ ~ $N$ 中有多少数字在 $d$ 进制下为回文数，数位 $DP$ ，以 $dp[len][pos][pre][sta]$ 表示当前数字长度为 $len$ ，当前在第 $pos$ 位，上一位数字是 $pre$ ，回文状态是 $sta$ （ $sta=1$ 表示回文， $sta=0$ 表示不回文）的数字个数，如果在放前半部分直接放即可，放后半部分时候判断与对称位置数字是否相同来改变回文状态

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,Case=1,L,R,l,r,a[37],b[37]; 
ll dp[37][37][37][2];
ll dfs(int len,int pos,int d,int sta,int fp)
{
    if(!pos)
    {
        if(sta)return d;
        return 1;
    }
    if(!fp&&~dp[len][pos][d][sta])return dp[len][pos][d][sta];
    ll ans=0;
    int fpmax=fp?a[pos]:d-1;
    for(int i=0;i<=fpmax;i++)
    {
        b[pos]=i;
        if(len==pos&&i==0)ans+=dfs(len-1,pos-1,d,sta,fp&&i==fpmax);
        else if(sta&&pos<=len/2)ans+=dfs(len,pos-1,d,sta&&i==b[len+1-pos],fp&&i==fpmax);
        else ans+=dfs(len,pos-1,d,sta,fp&&i==fpmax); 
    }
    if(!fp)dp[len][pos][d][sta]=ans;
    return ans;
}
ll Solve(int n,int d)
{
    int len=0;
    while(n)a[++len]=n%d,n/=d;
    return dfs(len,len,d,1,1);
}
int main()
{
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&L,&R,&l,&r);
        ll ans=0;
        for(int i=l;i<=r;i++)ans+=Solve(R,i)-Solve(L-1,i);
        printf("Case #%d: %I64d\n",Case++,ans);
    }
    return 0;
}