POJ 2065 SETI（高斯消元）

Description
给出定义f(k) = ∑(0<=i<=n-1)ai*k^i(mod p)，给出n个式子的结果f(1)～f(n)，用一个字符串表示f的值，*表示0，a～z表示1～26，要解出a(0)～a[n-1]
f(1) = a(0) * 1^0 + a(1) * 1^1 + a(2) * 1^2 ,,,,,,,a(n-1) * 1^n
f(2) = a(0) * 2^0 + a(1) * 2^1 + a(2) * 2^2 ,,,,,,,a(n-1) * 2^n
f(3) = a(0)* 3^0 + a(1) * 3^1 + a(2) * 3^2 ,,,,,,,a(n-1) * 3^n
,,,
f(n) = a(0)* n^0 + a(1) * n^1 + a(2) * n^2 ,,,,,,,a(n-1) * n^n
Input
第一行一整数T表示用例组数，每组用例输入一个整数p和一个代表的f序列值的字符串，串长不超过70
Output
对于每组用例，输出a(0)~a(n-1)的值，保证解唯一
Sample Input
3
31 aaa
37 abc
29 hello*earth
Sample Output
1 0 0
0 1 0
8 13 9 13 4 27 18 10 12 24 15
Solution
将a(0)~a(n-1)看作n个变元，问题转化为求解一个len*n的模p线性方程组(len为串长)，高斯消元即可
Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
//高斯消元法解模线性方程组
#define maxn 77
int a[maxn][maxn];//增广矩阵
int x[maxn];//解集
bool free_x[maxn];//标记是否是不确定的变元
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int lcm(int a,int b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}
// 高斯消元法解方程组
//-2表示有浮点数解,但无整数解
//-1表示无解
//0表示唯一解
//大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数
//有equ个方程，var个变元
//增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var,int mod)
{
    int i,j,k;
    int max_r;//当前这列绝对值最大的行.
    int col;//当前处理的列
    int ta,tb;
    int LCM;
    int temp;
    int free_x_num;
    int free_index;
    for(int i=0;i<=var;i++)
    {
        x[i]=0;
        free_x[i]=true;
    }
    //转换为阶梯阵.
    col=0;//当前处理的列
    for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
    {
        // 枚举当前处理的行.
        // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换(为了在除法时减小误差)
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
        }
        if(max_r!=k)
        {// 与第k行交换.
            for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        }
        if(a[k][col]==0)
        {// 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列.
            k--;
            continue;
        }
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {// 枚举要删去的行.
            if(a[i][col]!=0)
            {
                LCM=lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
                ta=LCM/abs(a[i][col]);
                tb=LCM/abs(a[k][col]);
                if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加
                for(j=col;j<var+1;j++)
                {
                    a[i][j]=((a[i][j]*ta-a[k][j]*tb)%mod+mod)%mod;
                }
            }
        }
    }
    //无解的情况
    for(i=k;i<equ;i++)
    { 
        if(a[i][col]!=0) return -1;
    }
    // 无穷解的情况
    if(k<var)
    {
        //自由变元有var-k个,即不确定的变元至少有var-k个.
        for(i=k-1;i>=0;i--)
        {
            free_x_num=0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元.
            for(j=0;j<var;j++)
            {
                if(a[i][j]!=0&&free_x[j]) free_x_num++,free_index=j;
            }
            if(free_x_num>1) continue; // 无法求解出确定的变元.
            // 说明就只有一个不确定的变元free_index,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的.
            temp=a[i][var];
            for(j=0;j<var;j++)
            {
                if(a[i][j]!=0&&j!=free_index) temp-=a[i][j]*x[j]%mod;
                temp=(temp%mod+mod)%mod;
            }
            x[free_index]=(temp/a[i][free_index])%mod;//求出该变元.
            free_x[free_index]=0;//该变元是确定的.
        }
        return var-k; //自由变元有var-k个.
    }
    //唯一解的情况 
    for(i=var-1;i>=0;i--)
    {
        temp=a[i][var];
        for(j=i+1;j<var;j++)
        {
            if(a[i][j]!=0) temp-=a[i][j]*x[j];
            temp=(temp%mod+mod)%mod;
        }
        while(temp%a[i][i]!=0) temp+=mod;
        x[i]=(temp/a[i][i])%mod;
    }
    return 0;
}
int T,n,p;
char s[maxn];
int Get(char c)
{
    if(c=='*')return 0;
    return c-'a'+1;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%s",&p,s);
        n=strlen(s);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int temp=1;
            for(int j=0;j<n;j++)
                a[i][j]=temp,temp=temp*(i+1)%p;
            a[i][n]=Get(s[i])%p;
        }
        int ans=Gauss(n,n,p);
        for(int i=0;i<n;i++)printf("%d%c",x[i],i==n-1?'\n':' ');
    }
    return 0;
}