Dijkstra最短路径算法原理的一点儿解释

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前言

在学习最短路径算法的时候，对Dijkstra 算法的理解，是有点儿模模糊糊的，总是不能理解其所以然。课本上的话，看似懂了，仔细想想又疑问多多。想通了之后，将想法写在margin上，但是时间长了又忘了。为了记忆清晰，把疑问和思考过程记录下来。

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一、Dijkstra 算法的引入部分

以下内容，节选自清华版92版《数据结构》，严蔚敏 著。
前提简述：
核心内容：某个原点到其它各点的最短路径。
顶点用V表示。
首先引入一个辅助向量dist，它的每个分量dist[i],表示当前所找到的从始点V到每个重点Vi的最短路径的长度。其初态为，若V到Vi有弧则dist[i]为弧上的权值，否则其值为∞。显然其中的最小值
dist[j]是从V出发的一条最短路径,记作(v,vi)
dist[i]= Min{dist[i]|Vi ∈V}
那么下一条次短路径是哪一条呢？假设该次短路径的终点是 Vk，则可想而知，这条路径或者是（V,Vk）或者是（V,Vj,Vk）…

上面几个概念的理解

1.初态的第一条最短路径

我们可以先假定这样的最短只有一条，即没有重复值的情况。如果有，那就都放到这个最短路径的集合中。

2.次短路径

首先是上面的集合是从始点出发的到其余各点的最短路径的集合，注意初态时值的规定（弧长的规定，常量和无穷的规定）。
次段路径就是从不含Vi和V的各点中找到一个点Vk，使的Vk到V的路径长度比Disk[j]稍长一点， 而比到其余的各点Vj’（除了 v，vj，vk的点）的路径长度都短。这是次短路径的含义。

3.次短路径的表达为啥是 （V，Vk）或者是（V,Vj,Vk）

这个地方不知道大家理解是否顺畅，我仔细想了一下，感觉还是得把中间的过程记下来更好。
可想而知这条路径是（v，vk）或者V,Vj,Vk）…为什么呢？
首先要理解这个前提，即vk是次短路径的终点，起点就是V。也就是说，次短路径中的首末点必须是V和Vk。那么中间点可能是啥呢？有可能是Vj’吗？或者更多的其他点？
分析如下：
1、首先假设最短路径都是唯一的，即不存在重复值。
1.1如果次短路径是 （V,Vj,Vk）
假设存在 Vj’ 点使得(v,vj’,vk）是次短路径，那么（v,vj‘)必然小于(v,vj’,vk），也就是（v,vj‘)比次短路径短，即（v,vj’）是最短路径（为啥？这个路径是次短路径，比它短的就只能是最短路径）。根据唯一性，j’=j，也就是说次短路径只能是(v,vj,vk）。
1.2 如果次短路径是（v，vk），那么这个就没啥说的了，因为只能是它，这是我们的假定（Vk是假定的，如果Vj’,比它合适，那么令 Vj’ 是Vk就好了。注意假定这个前提…）。
2、如果最短路径不唯一，即存在重复值
假设最短路径有多个同样的值，j1，j2…,通过上面的分析次短路径也必然是经过 这些Vj，选择其中最短的那个Vkn 作为Vk就可以了。

二、Dijkstra 算法的涉及的引理部分

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教材内容转述如下：
假设S为求得的最短路径的集合，可以证明：下一条最短路径（设其终点为x），要么是弧（v,x）要么是 只 经过 s中的点到达最后的点x的路径。
教材上采用的反证法：假设此路径中有一个点不再S中，则存在一条终点不在s而路径而长度比这个路径短的路径，这是不可能的。

我们仍然采用上面次短路径分析的方法来详细说明一下。假设这个点是 s’, 那么这个短路径可以描述为(V,s1,s2… s’, s’1…X), 则路径(V,s1,s2… s’） 必然小于 (V,s1,s2… s’, s’1…X) （注意这个路径是我们假定的递增的一条短路径），而该路径是仅仅比S中的路径递增一点儿的路经，所以(V,s1,s2… s’）路径必然是最短路径中的一条，即s’必然是S集合中的一个元素。这就证明了上面的引理。

我认为这个比反证法更好理解一些。
另外这里面有数学归纳法的味道。

总结

理解一个推论的前提和假定非常重要，有时候会陷入后面的陷入为主的漩涡中，而忽略了前面的假定。另外，在计算机的诸多算法中，前提和动态推演是经常遇到的一种思路或者方法。由于人脑（大多数）在动态推演过程中会很困难，因此对某些结论的理解就会很困惑。反正，笔者是这样的，对这种递归定义和使用临时假定的推理过程的理解费劲。往往是机械的接纳了书上的结论，其实并没有知其所以然。

是记

MaraSun BJFWDQ

4-14 荣成马拉松。