傅里叶变换的矩阵分析

本文是对 [Matrix Analysis and Applied Linear Algebra][1] 一书中第5.8章离散傅里叶变换(DISCRETE FOURIER TRANSFORM)的浅显解读和翻译。因个人能力有限,理解难免出现偏差,仅作抛砖引玉,希望各位指正我的错误,讨论出真知。本文会长期进行更新。

目录

离散傅里叶变换(DFT)与离散傅里叶反变换(IDFT)

这个部分将介绍5.8章节中导读,5.8.1子章节和5.8.2子章节部分。
导读:复数n阶单位根、欧拉公式、复数的性质。接着定义傅里叶矩阵,介绍傅里叶矩阵以及逆矩阵的性质。
5.8.1:傅里叶变换。
5.8.2:傅里叶反变换。

导论

欧拉公式作为指数到三角代换的桥梁。
复数n阶单位根着重注意其几何解释,作为理解傅里叶矩阵性质的重要工具。
复数的性质是傅里叶矩阵性质的基本。
综合以上两条理解傅里叶矩阵到其逆矩阵的变化。

-欧拉公式

ex=cosx+isinx

首先给出欧拉公式,但不做具体的说明。下文中仅利用欧拉公式对指数形式表示和三角函数形式表示之间进行转换。

-复数n阶单位根( nth roots of unity)

{1,ω,ω2,...,ωn1}

说明
n 为给定的正实数
ω=e2πi/n=cos2πn+isin2πn (欧拉公式)

数学解释
复数n阶单位根是 zn=1 的所有解。
即命题为:当给定一个正实数 n ,求 zn=1。解得 z={1,ω,ω2,...,ωn1}

几何解释
复数n阶单位根在复数数轴中体现为:它们构成了在圆内的正n边形,即这些点等距的分布在复数圆的边上。下图给出了n为3和6的情况。
复数n阶单位根几何意义1
n阶单位根在圆内循环出现,相当于以某方向以固定间隔绕圈。
故有当 kn ωk=ωk(modn)
其中 k(modn) 为求模取余运算。
相当于点 ωk 在圆上绕圈次数为k/n的向下取整,又向前移动余数位置。例如当 n=3 , k=4 时,点绕圆转动一圈,落在 ω 位置上。

-复数n阶单位根的共轭形式

{1,ξ,ξ2,...,ξn1}

说明
ξ ω 共轭,即 ξ=ω¯
ξ=e2πi/n=cos2πnisin2πn (欧拉公式)

数学解释
ω ,可以理解为构成的集合相同,顺序相反。

几何解释
ω ,可以理解为构成在圆上的点重合,起始顺序相反。下图给出了n为3和6的情况。
复数n阶单位根几何意义2

这两张图对于直观的理解傅里叶矩阵与傅里叶变换有非常重要的作用。

-复数 ω ξ 的性质

ξk=ξk¯=ωk

上式说明,对于复数 ω ξ 来说,其-1指数形式可以用其共轭形式进行计算。这个性质可以对照n阶根的两张图片理解。(表示的点完全相同,起止方向完全相反)
1+ξ+ξk+ξ2k++ξ(n1)k=0

上式说明,对于下面要提到的傅里叶矩阵的任何一行或任何一列来说,其和为零。

-傅里叶矩阵
定义
傅里叶矩阵

傅立叶矩阵是常量,矩阵维度为 n×n ,其定义只和阶数n的大小有关。傅里叶矩阵的第个 (j,k) 元素值为 ξjk 或也可写为 ωjk 。特别需要注意的是这里的 j 下标从0到n-1。

性质
1. 正交性
正交性
上式说明,说明傅里叶矩阵的任意不同两行或者两列的乘积都是零,是正交矩阵。

2. 归一化
归一化
上式说明,其任意行或列的二范数为n,故归一化到单位正交矩阵需要在上面定义的傅里叶矩阵中前加入系数。

运算(傅里叶逆矩阵)
逆矩阵推导
上式推导,表示傅里叶矩阵由共轭求逆的过程,在傅立叶反变换中会使用到。

逆矩阵

离散傅里叶变换

-傅里叶矩阵与傅里叶逆矩阵
下面是当n=2以及当n=4时傅里叶矩阵与傅里叶逆矩阵的具体例子
傅里叶矩阵:
逆矩阵例1
傅里叶逆矩阵
逆矩阵例2

-离散傅里叶变换矩阵表达
给定一个向量 xn×1 x 的离散傅里叶变换矩阵表达形式为Fnx,即傅里叶矩阵乘以向量 x F1nx离散傅里叶反变换。
具体如下
逆变换

离散傅里叶反变换

-离散傅里叶反变换矩阵表达

F1nx=F¯nxn=Fnx¯¯n

-离散傅里叶反变换的过程
以下三步
xx¯ : 求原始向量的共轭向量
xFFT(x) : 求FFT
x(1/n)x¯ : 求共轭向量并加入系数 1/n
上述过程说明了可以用FFT算法实现快速傅里叶变换以及快速傅里叶反变换。仅需要改变共轭和系数。

-离散傅里叶反变换的例子
逆变换例

### 关于分数阶傅里叶变换矩阵的实现与资源 分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform, FrFT)是一种广义化的傅里叶变换形式,它允许信号在时间-频率平面上进行旋转操作。FrFT 的核心概念在于其能够通过一个参数 \( \alpha \) 控制变换的程度,从而提供了一种灵活的方式来分析信号的时间和频域特性。 #### 数学定义 分数阶傅里叶变换可以被看作是对传统傅里叶变换的一种推广。对于连续函数 \( f(t) \),它的分数阶傅里叶变换可以通过以下积分表达式表示[^3]: \[ F_\alpha(u) = C_\alpha e^{j\pi u^2 \cot(\alpha)} \int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j2\pi (t-u)\csc(\alpha)+j\pi t^2 \cot(\alpha)} dt, \] 其中 \( C_\alpha \) 是归一化常数,\( \alpha \) 表示变换的角度。 当离散化该过程时,通常会构建一个分数阶傅里叶变换矩阵来近似这一运算。这种矩阵的形式依赖于具体的算法设计以及所采用的数值方法。 #### 实现方式 以下是基于 MATLAB 和 Python 的两种常见实现: ##### MATLAB 实现 MATLAB 提供了一个内置工具箱 `frft` 来计算分数阶傅里叶变换。如果需要手动实现,则可通过如下代码完成: ```matlab function F = frft(f, a) % Fractional Fourier Transform Implementation N = length(f); shft = rem((0:N-1)+fix(N/2),N)-fix(N/2); sgn = exp(-1i*pi*a*shft.^2/N); F = sqrt(1-j*a)*exp(-1i*pi*a*(0:N-1).^2/N)*(ifft(exp(-1i*pi*(-a)*(0:N-1).^2/N).*fft(sgn.*f))); end ``` 上述代码实现了任意角度 \( a \) 下的一维分数阶傅里叶变换。 ##### Python 实现 Python 中也可以利用 NumPy 库轻松实现类似的逻辑: ```python import numpy as np def fractional_fourier_transform(signal, alpha): n = len(signal) m = np.arange(n).reshape((-1, 1)) # 构建分数阶傅里叶变换核 kernel = np.exp(-1j * np.pi * ((m ** 2) / n) * np.tan(alpha)) @ \ np.diag(np.exp(-1j * np.pi * (np.arange(n)**2) / n * np.sin(alpha))) @ \ np.fft.ifft(np.eye(n)) return np.dot(kernel, signal) # 测试数据 signal = np.random.rand(8) result = fractional_fourier_transform(signal, np.pi / 4) print(result) ``` 此代码片段展示了如何创建并应用分数阶傅里叶变换的核心矩阵结构。 #### 资源推荐 除了编程实现外,还可以参考一些学术论文和技术文档进一步了解分数阶傅里叶变换的应用场景及其理论基础。例如,在 IEEE Xplore 数据库中搜索关键词 “fractional fourier transform”,可以获得大量高质量的研究成果[^4]。 ---
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