数据结构与算法笔记：字典序最大问题分析

字典序最大问题

问题描述

• 给定一个1到n的排列(无序状态的)，依次插入到栈中，在每时每刻都可以多次从栈中弹出栈顶
• 问：应如何使得弹出栈顶的序列的字典序最大，并输出这个序列

问题分析

• 什么是字典序
  • 比如两个序列：5,4,3,2,1和1,2,3,4,5
  • 这两个中第一个的字典序最大
  • 每个位置上的数字比其他序列上同一位置的数字要大
  • 比如：第一位置中5比1大，第二位置中4比2大这样
  • 即：字典序最大 = 从左向右看这个序列，每个数字都尽量大
• 题目给定一个1到n的排列，每个数字只出现一次
• 要使出栈的字典序最大，则第一个出栈的一定是n, 也就是序列中的最大值，同时n的入栈和出栈动作一定是连续的，不会被其他元素所干扰
• 第二个出栈的会是谁呢？
  • 在n出栈之前，n前面的所有元素都一定在栈中，没有一个被弹出去，否则第一个弹出的位置就不会是n
  • 由于每次只能弹出栈顶，我们只需考虑栈顶的数字和n这个数字后面的元素中选一个最大值作为第二个出栈的候选者
• 第三、第四等等以此类推
• 总结一下，这个算法实现需要三个功能
  • 栈的基本操作
  • 连续一段(至末尾)序列最大值的查找
  • 判断谁是下一个出栈：当前栈顶与前一个出栈元素后面的元素中最大的那个

关键算法实现

1 ） 蛮力算法：算法复杂度为：$O(n^2)$

• 每次花费O(n)的时间查找最大值
• 一共进行了O(n)次
• 算法复杂度为：$O(n^2)$

// n: 序列长度
// ele：序列数组，下标从0开始
// 返回值：返回字典序最大的出栈序列
vector<int> getResult(int n, int *ele) {
    vector<int> ans; // 动态数组，用于返回
    stack<int> s; // 用于存放索引的栈
    // 处理当前所有的元素
    for (int i = 0; i < n;) {
        int mx = 0; // 初始化最大值
        // 找到当前最大值(并非全局最大值，第一次循环的时候是全局最大值)
        for (int j = i; j < n; ++j) {
            mx = max(mx, ele[j]);
        }
        // 如果栈不空且栈顶元素较大，则将较大的栈顶弹出(满足字典序最大)
        if(!s.empty() && ele[s.top()] > mx) {
            ans.push_back(ele[s.top()]); // 将这个较大栈顶存入结果
            s.pop(); // 出栈
        } else {
            // 将最大值之外的元素全部压进去(因为最大值只有一个，所以用!=的方式处理除了最大值之外的所有元素)
            while(mx!=ele[i]) {
                s.push(i); // 入栈
                ++i; // i自增跳出while，重新执行外层循环
            }
            // 当前的i元素ele[i]就是最大值的时候，将这个最大值存入结果
            ans.push_back(ele[i]);
            ++i;
        }
    }
    // 当外面的元素全都没有了(该入栈的都入栈了)，最后只能从栈中一个一个弹出来了，将剩余元素依次弹出，并存入最终结果
    while(!s.empty()) {
        ans.push_back(ele[s.top()]);
        s.pop();
    }
    return ans;
}

2 ） 线性算法：算法复杂度为：$O(n)$

• 维护一个数组maxElement,表示位置i到位置n的最大值
  • maxElementi=max{maxElementi+1,elementi}maxElement_i = max\{ maxElement_{i+1}, element_i \}maxElementi​=max{maxElementi+1​,elementi​}
  • 算法开始之前做数据的预处理，时间复杂度为O(n)
• 之后，算法查询O(n)次，每次花费O(1)的时间来查询最大值，结合之前预处理时间也是O(n), 所以总时间复杂度还是O(n)
• 以空间换时间，妥妥的线性算法, 非常高效

// n: 序列长度
// ele：序列数组，下标从0开始
// 返回值：返回字典序最大的出栈序列
vector<int> getResult(int n, int *ele) {
    vector<int> ans; // 动态数组，用于返回
    stack<int> s; // 
    // ----- 数据预处理 开始 ----- //
    int *maxElement = new int[n](); // 定义一个存储所有元素的空间
    maxElement[n-1] = ele[n-1]; // 初始化最后一个元素，作为切入点
    // 批量处理其他元素，注意，此处是倒序，最大值的比较是当前元素和前一个最大值(序号较大的，因为是倒序循环)
    for(int i=n-2; i>=0; --i) {
        maxElement[i] = max(maxElement[i+1], ele[i]);
    }
    // ----- 数据预处理 结束 ----- //
    // 遍历当前所有的元素 O(n)
    for (int i = 0; i < n;) {
        int mx = maxElement[i]; // 初始化最大值
        
        // 如果栈不空且栈顶元素较大，则将较大的栈顶弹出(满足字典序最大)
        if(!s.empty() && ele[s.top()] > mx) {
            ans.push_back(ele[s.top()]); // 将这个较大栈顶存入结果
            s.pop(); // 出栈
        } else {
            // 将最大值之外的元素全部压进去(因为最大值只有一个，所以用!=的方式处理除了最大值之外的所有元素)
            while(mx!=ele[i]) {
                s.push(i); // 入栈
                ++i; // i自增跳出while，重新执行外层循环
            }
            // 当前的i元素ele[i]就是最大值的时候，将这个最大值存入结果
            ans.push_back(ele[i]);
            ++i;
        }
    }
    // 当外面的元素全都没有了(该入栈的都入栈了)，最后只能从栈中一个一个弹出来了，将剩余元素依次弹出，并存入最终结果
    while(!s.empty()) {
        ans.push_back(ele[s.top()]);
        s.pop();
    }
    return ans;
}

3 ) 其他复杂度算法：$O(nlogn)$

• 既然解决方案可以从$O(n^2)O(n)$, 那么O(nlogn)的复杂度也可以实现
• 每一次查询只会花费O(logn)的时间，构建以及其他零散总时间也不会超过O(nlogn)
• 可以参考：线段树，堆，平衡树来考虑，此处不再赘述
• 具体替换的位置在下面，替换上上面的一些技术来做查询

  // 找到当前最大值(并非全局最大值，第一次循环的时候是全局最大值)
  for (int j = i; j < n; ++j) {
      mx = max(mx, ele[j]);
  }
  

通用的输入程序

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int *ele = new int[n](); // 输入的数组
    // 初始化
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> ele[i];
    }
    auto answer = getResult(n, ele);
    // 循环输出数组
    for (auto i: answer) {
        cout << i << " ";
    }
    cout << "\n";
    return 0;
}

测试数据

• 给定输入序列
  • 5
  • 4 1 3 5 2
• 输出序列：5 3 2 1 4

扩展

• 当这个序列不是逐个排列给出，而是允许有重复元素，上述算法也可正常运行