线段树(Segment Tree)
线段树可在O(log n)的时间复杂度内实现单点修改、区间修改、区间查询(区间和,区间最大/最小值)等操作
线段树的结构和建树
- 线段树建树
- 区间查询(区间求和)
- 单点修改
线段树把一整个线段划分成一个树形结构,将每个长度不为1的区间划分成左右两个区间递归求解。
设用数组st[ ] 来保存线段树, st[i] 为线段树上编号为i的结点的值
(st[i]表示编号为i的结点所管理的区间的和)
st[1] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4]
st[2] = a[1] + a[2]
st[4] = a[1]
st[i] 的左儿子结点是st[2*i], 右儿子结点是st[2* i + 1]
假设st[i]管理的区间是[l, r], 则它左儿子管理的区间是[l, (l + r) / 2],它右儿子管理的区间是[(l + r)/2 + 1, r]
继续观察,当区间大小为1的话,那么s[i]管理的区间[l, r]一定有 l==r, 这就是线段树的递归边界
线段树建树
void push_up(int root)
{
st[root] = st[root << 1] + st[root << 1 | 1]; // 左儿子和右儿子管理的区间和
// st[root] = max(st[root << 1] , st[root << 1 | 1]); // 左儿子和右儿子中的最大值
// st[root] = min(st[root << 1] , st[root << 1 | 1]); // 最小值
}
//建树
void build(int root, int l, int r)
{
if(l == r) // 边界
{
cin >> st[root];
return;
}
int mid = l + (r - l) / 2;
build(root << 1, l, mid); // 建root结点的左树
build(root << 1 | 1, mid + 1, r); // 建右树
push_up(root); // 向上更新 区间和
}
区间查询
查询区间[l, r]的和,即查询a[l] + a[l + 1] + a[l + 2] + …… + a[r]
的值(或查询[l,r]的最大/最小值)
见上图,
如要查询区间[1, 4]的和,那么直接取st[1]的值。
如要查询区间[1, 3]的和,此时不能直接获取区间和的值,但是[1, 3]可以拆成区间[1, 2]和区间[3,3],将这两个区间和相加即可。
int query(int root, int ql, int qr, int l, int r) // root为当前结点,[ql, qr]为要查询的区间,[l,r]为当前结点所包含区间
{
if(ql <= l && qr >= r) // 当前区间为要查询的区间的子区间时,直接返回当前区间的和
{
return st[root];
}
int mid = l + (r - l) / 2;
int ans = 0;
if(ql <= mid) ans += query(root << 1, ql, qr, l, mid); // 查询左儿子
if(qr > mid) ans += query(root << 1 | 1, ql, qr, mid + 1, r); // 查询右儿子
return ans;
}
单点修改
// 将a[pos]的值加上val
void update(int root, int pos, int val, int l, int r) // root为当前结点, [r, l]为当前结点所包含的区间
{
if(l == r) // 找到pos的位置
{
st[root] += val;
return ;
}
int mid = l + (r - l) / 2;
if(pos <= mid) update(root << 1, pos, val, l, mid); // pos在区间[l, mid]内
else if(pos > mid) update(root << 1 | 1, pos, val, mid + 1, r); // pos在区间[mid + 1, r]内
push_up(root); // 修改完了记得要向上更新和
}
线段树的区间修改与懒惰标记
如果要修改区间[l, r],把区间[l, r]中所有的结点都遍历一遍,时间复杂度可能无法承受,于是引入一个叫“懒惰标记”的东西。
设一个数组tmp[], tmp[i] 为结点 i 的懒惰标记, tmp[i]的作用是什么呢,就是为st[i] 暂时保存要加在st[i]所包含的区间的值,
比如说,要使区间[l, r]上的所有数都加上val,而st[i]管理的区间恰好是[l, r], 那么此时不会遍历[l, r]把所有的结点都加上val,而是把val暂存在tmp[i]中,等到st[]需要更新的时候,再向tmp[]数组取对应的值,向下更新,把区间给更新完。
那么加入了懒惰标记区间查询要怎么做呢(比如求区间和)?
很简单,st[i] 所包含的区间[l, r]中的所有数都加上了一个值val,那么此时st[i] 就要加上val * (r - l + 1), 也就是tmp[i] * (r - l + 1)
当需要向下更新的时候:
1.要把tmp[i]的左右儿子分别更新
2.要把st[i]的左右儿子分别更新
tmp[root << 1] += tmp[root];
tmp[root << 1 | 1] += tmp[root];
st[root << 1] += tmp[root] * (len - len / 2); // len为区间[l, r]的长度
st[root << 1 | 1] += tmp[root] * (len / 2);
向下更新
void push_down(int root, int len)
{
if(tmp[root])
{
tmp[root << 1] += tmp[root];
tmp[root << 1 | 1] += tmp[root];
st[root << 1] += tmp[root] * (len - len / 2);
st[root << 1 | 1] += tmp[root] * (len / 2);
tmp[root] = 0;
}
}
区间更新
void add(int root, int l, int r, int add_l, int add_r, int val)
{
if(add_l <= l && add_r >= r)
{
tmp[root] += val;
st[root] += val*(r - l + 1);
return ;
}
int mid = l + (r - l) / 2;
push_down(root, r - l + 1);
if(add_l <= mid) add(root << 1, l, mid, add_l, add_r, val);
if(add_r > mid) add(root << 1 | 1, mid + 1, r, add_l, add_r, val);
push_up(root);
}
区间查询
ll query(int root, int l, int r, int ql, int qr)
{
if(ql <= l && qr >= r)
{
return st[root];
}
int mid = l + (r - l) / 2;
push_down(root, r - l + 1);
ll ans = 0;
if(ql <= mid) ans += query(root << 1, l, mid, ql, qr);
if(qr > mid) ans += query(root << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr);
return ans;
}
例题
单点更新模板题 【敌兵布阵】:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1166
区间更新模板题 【A Simple Problem with Integers】:http://poj.org/problem?id=3468