【国家集训队 2010】小Z的袜子

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概率期望

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本文介绍了一道关于从特定范围内随机选取两只相同颜色袜子的概率问题，通过使用莫队算法进行高效求解。该算法适用于处理大量查询，能够快速计算在指定区间内选取两只颜色相同袜子的概率。

题目描述

作为一个生活散漫的人，小 Z 每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小 Z 再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……

具体来说，小 Z 把这 $N$ 只袜子从 $1$ 到 $N$ 编号，然后从编号 $L$ 到 $R(L<R)R(L\lt R)$ 的这 $R - L + 1$ 只袜子中随机抽出两只穿上。

尽管小 Z 并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。

你的任务便是告诉小 Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小 Z 希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个 $(L, R)$ 以方便自己选择。

$N,M≤50000N,M\le 50000$ ， $1≤L<R≤N1\le L\lt R\le N$ ， $Ci≤NC_i\le N$ 。

算法分析

莫队算法入门第一题，记查询区间每种袜子个数为 $t_i$ ，则答案为 $∑ti×(ti−1)(r−l+1)×(r−l)\frac{\sum t_i\times(t_i-1)}{(r-l+1)\times(r-l)}$ ，使用莫队算法求解即可，注意细节。

注：LG 上好像要判一些情况……

代码实现

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
typedef long long int ll;
const int maxn=50005;
struct ask {int l,r,id;} asks[maxn];int sz,bl[maxn];
inline bool cmp(const ask &x,const ask &y) {return bl[x.l]^bl[y.l]?bl[x.l]<bl[y.l]:bl[x.l]&1?x.r<y.r:x.r>y.r;}
int c[maxn],t[maxn];ll sum=0;
inline void upd(int x,int d) {sum-=t[x]*(t[x]-1LL);t[x]+=d;sum+=t[x]*(t[x]-1LL);}
ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
ll ansx[maxn],ansy[maxn];
int main() {
	int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
	for(register int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&c[i]);
	for(register int i=0;i<m;++i) {scanf("%d%d",&asks[i].l,&asks[i].r);asks[i].id=i;}
	int sz=n/sqrt(m*2/3);for(register int i=1;i<=m;++i) bl[i]=(i-1)/sz;
	std::sort(asks,asks+m,cmp);
	for(register int i=0,l=1,r=0;i<m;++i) {
		if(asks[i].l==asks[i].r) {ansx[asks[i].id]=0;ansy[asks[i].id]=1;}
		while(l<asks[i].l) upd(c[l++],-1);
		while(l>asks[i].l) upd(c[--l],1);
		while(r<asks[i].r) upd(c[++r],1);
		while(r>asks[i].r) upd(c[r--],-1);
		ll x=sum,y=(asks[i].r-asks[i].l+1LL)*(asks[i].r-asks[i].l),g=gcd(x,y);
		ansx[asks[i].id]=g?x/g:0;ansy[asks[i].id]=g?y/g:1;
	}
	for(register int i=0;i<m;++i) printf("%lld/%lld\n",ansx[i],ansy[i]);
	return 0;
}