数据结构-【堆】学习笔记

堆

堆是一棵树。

这棵树的性质：一个节点的键值大于等于或小于等于其儿子的键值。

因为这个性质，可以在$O(1)$的时间查询最小值或最大值。

堆有很多种类型：二叉堆、配对堆、左偏树、斐波那契堆。

根据功能，还可以再分类：普通堆、可并堆、可持久化堆……

数据结构的树林十分繁密。

1、二叉堆

这是最基础，也是最常见最普遍应用最广的一种堆。

顾名思义，这是一棵二叉树。父亲的键值大于等于或小于等于左右儿子的键值。

点$i$的左右儿子分别是$2i,2i+1$。

以小根堆为例：

• 如何插入一个数？

一种比较简单的方式就是把数值放在最底层、最右边的结点$x$。

若$x.val<f{a}_x.val$，交换$x$与$f{a}_x$。重复此操作。

因为这是一棵完全二叉树，时间复杂度是$O({\lg }_n)$。

• 如何删除堆顶元素？

一种办法是把堆顶的值设到$\infty$，然后不断向下调整，最后删除。

还有一种办法是交换堆顶和最底层、最右边的结点，然后删掉最底层且最右边的元素（原堆顶）。

然后对新堆顶进行向下调整。

两种时间复杂度都是$O({\lg }_n)$。

• 能不能快速地建堆？

一种方法是从结点1开始不断加入结点（向上调整）。

for(int i=1;i<=n;i++) up(i);

时间复杂度是${\lg }_1+{\lg }_2+{\lg }_3+...+{\lg }_n=\Theta (n{\lg }_n)$。

换一个思考方向：从结点$n$开始不断向下调整。

for(int i=n;i>=1;i--) down(i);

可以证明，时间复杂度是$O(n)$。

证明一：自己想的。

最底层节点都只用进行一次操作，有$\frac{n}{2}$个结点。

倒数第二层最坏情况是两次操作，有$\frac{n}{4}$个结点。

……

第一层最坏情况是${\lg }_n$次操作，有$\frac{n}{n}=1$个结点。

于是记时间复杂度为$S$：
$$\begin{gathered} S=\frac{n}{2}\times 1+\frac{n}{4}\times 2+\frac{n}{8}\times 3+...+\frac{n}{n}\times {\lg }_n① \\ ①\times 2\to 2S=n\times 1+\frac{n}{2}\times 2+\frac{n}{4}\times 3+...+2\times {\lg }_n② \\ ②-①\to S=n+\frac{n}{2}+\frac{n}{4}+...+2+{\lg }_n \\ =n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{\frac{1}{2}n})+{\lg }_n \\ =O(n) \end{gathered}$$
证明二：网上搬的。

具有$n$个结点的完全二叉树，树高$h={\lg }_n$，可知$n=2^h$。

层数从0开始。

最底层（$h-1$层）有$2^{h-1}$个结点，每个结点进行一次比较，效率是$2^{h-1}\times 1$。

倒数第二层有$2^{h-2}$个结点，每个结点进行两次比较，效率是$2^{h-2}\times 2$。

由此，可以写出第$x$层的效率$=2^x\times (h-x)$。

那么时间复杂度$S$：
$$\begin{gathered} S=2^{h-1}\times 1+2^{h-2}\times 2+2^{h-3}\times 3+...+2^0\times h① \\ ①\times 2\to 2S=2^h\times 1+2^{h-1}\times 2+2^{h-2}\times 3+...+2^1\times h② \\ ①-②\to S=2^h\times 1+2^{h-1}+2^{h-2}+...+2^1+2^0\times h \\ =2^{h+1}-1+h \\ =O(2n-1+{\lg }_n) \\ =O(n) \end{gathered}$$
两者的方法类似，思考过程有差异。

左偏堆

留坑