LeetCode Hot100（67/100）——279. 完全平方数

题目链接

• 原题链接：https://leetcode.cn/problems/perfect-squares/description/?envType=study-plan-v2&envId=top-100-liked

题目说明

给你一个整数 n，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量。

• 完全平方数：形如 1, 4, 9, 16, ...（即某个整数的平方）
• 示例：
  • n = 12，答案是 3（12 = 4 + 4 + 4）
  • n = 13，答案是 2（13 = 4 + 9）

约束（LeetCode）：

• 1 <= n <= 10^4

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解题思路总览

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解法一：动态规划（推荐，通用且好理解）

原理

定义 dp[i]：表示组成整数 i 所需的最少完全平方数个数。
那么：

$$dp[i]=\underset{j^2\le i}{\min }(dp[i-j^2]+1)$$

含义是：最后一次选了一个平方数 j*j，前面剩下 i-j*j 的最优解再加 1。

状态转移流程图

Java 代码

import java.util.Arrays;

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
        dp[0] = 0;

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n * sqrt(n))
• 空间复杂度：O(n)

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解法二：BFS（把问题看成最短路径）

原理

把每个数字看作图中的一个节点。
从 n 出发，每次可以减去一个平方数 s（s <= 当前值），到达新节点 cur - s。
每减一次平方数，相当于走一条边。问题就变成：

从 n 到 0 的最短路径长度是多少？

BFS 天然求无权图最短路，层数即答案。

BFS 时序示意

Java 代码

import java.util.*;

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
        boolean[] visited = new boolean[n + 1];

        queue.offer(n);
        visited[n] = true;
        int step = 0;

        while (!queue.isEmpty()) {
            int size = queue.size();
            step++;
            for (int k = 0; k < size; k++) {
                int cur = queue.poll();
                for (int j = 1; j * j <= cur; j++) {
                    int next = cur - j * j;
                    if (next == 0) return step;
                    if (!visited[next]) {
                        visited[next] = true;
                        queue.offer(next);
                    }
                }
            }
        }
        return step;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：最坏 O(n * sqrt(n))
• 空间复杂度：O(n)

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解法三：数学定理（性能很强）

原理

利用两个经典定理：

1. 拉格朗日四平方定理：任意正整数都可表示为最多 4 个平方数之和
   → 答案只可能是 1,2,3,4

2. 勒让德三平方定理推论：若 n = 4^a(8b+7)，则 n 不能表示为 3 个平方数之和
   → 这种情况答案一定是 4

判定流程：

1. 若 n 本身是完全平方数，答案 1
2. 把 n 中因子 4 全部除掉（while n % 4 == 0）
3. 若 n % 8 == 7，答案 4
4. 枚举 a^2，判断 n-a^2 是否平方数，若是则答案 2
5. 否则答案 3

判定流程图

Java 代码

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        if (isSquare(n)) return 1;

        // 去掉 4 的因子
        while (n % 4 == 0) {
            n /= 4;
        }

        // n = 8b + 7 的形式 => 4
        if (n % 8 == 7) return 4;

        // 检查是否可由两个平方数组成
        for (int a = 1; a * a <= n; a++) {
            int b = n - a * a;
            if (isSquare(b)) return 2;
        }

        // 不是1、2、4，则是3
        return 3;
    }

    private boolean isSquare(int x) {
        int r = (int) Math.sqrt(x);
        return r * r == x;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(sqrt(n))
• 空间复杂度：O(1)

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不同解法的实现复杂度与性能对比

解法	核心思想	时间复杂度	空间复杂度	实现复杂度	性能表现	适用场景
动态规划	dp[i] 最优子结构	O(n*sqrt(n))	O(n)	中等	稳定、通用	面试高频，易讲清楚
BFS	无权图最短路（层数）	最坏 O(n*sqrt(n))	O(n)	中等偏上	可能较快，依赖剪枝与数据分布	想用图论视角时
数学定理	四平方/三平方定理判定	O(sqrt(n))	O(1)	较高（需要定理）	通常最快	追求极致性能、理解数学结论后使用

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总结

如果你想要最稳妥的解法：用 动态规划。
如果你想要最优复杂度：用 数学定理法。
如果你想训练图论建模能力：可以写 BFS。

在 LeetCode 279 中，三种方法都很经典，建议至少掌握 DP + 数学法。