LeetCode Hot100（66/100）——118. 杨辉三角

题目链接

https://leetcode.cn/problems/pascals-triangle/description/?envType=study-plan-v2&envId=top-100-liked

题目说明

给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。

杨辉三角规则：

• 每行第一个和最后一个数字都是 1
• 中间位置满足：triangle[i][j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j]

示例（numRows = 5）：

[
     [1],
    [1,1],
   [1,2,1],
  [1,3,3,1],
 [1,4,6,4,1]
]

约束（LeetCode 常见约束）：1 <= numRows <= 30

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解题思路总览

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解法一：二维 DP 表（最直观）

原理

设 dp[i][j] 表示第 i 行第 j 列（0-based）：

• j == 0 或 j == i 时，dp[i][j] = 1
• 否则：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]

最后把每一行收集到结果列表中。

流程图

Java 代码

import java.util.*;

class Solution {
    public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
        int[][] dp = new int[numRows][numRows];
        List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();

        for (int i = 0; i < numRows; i++) {
            List<Integer> row = new ArrayList<>();
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (j == 0 || j == i) {
                    dp[i][j] = 1;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                }
                row.add(dp[i][j]);
            }
            ans.add(row);
        }

        return ans;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(numRows^2)
• 空间复杂度：O(numRows^2)（二维表 + 输出）

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解法二：按行迭代（推荐）

原理

只保存“上一行”，生成“当前行”：

• 当前行首尾是 1
• 中间值来自上一行对应的两个位置相加

这是最常见、最清晰的工程写法。

时序图

Java 代码

import java.util.*;

class Solution {
    public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
        List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
        List<Integer> prev = new ArrayList<>();

        for (int i = 0; i < numRows; i++) {
            List<Integer> cur = new ArrayList<>();
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (j == 0 || j == i) {
                    cur.add(1);
                } else {
                    cur.add(prev.get(j - 1) + prev.get(j));
                }
            }
            ans.add(cur);
            prev = cur;
        }

        return ans;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(numRows^2)
• 额外空间复杂度：O(numRows)（不算输出，仅上一行临时存储）
• 若计入输出，整体仍为 O(numRows^2)

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解法三：组合数公式

原理

杨辉三角第 i 行（0-based）第 j 个数就是组合数：

$$C(i,j)$$

使用递推避免直接阶乘：

$$C(i,j)=C(i,j-1)\times \frac{i-j+1}{j}$$

每一行从 1 开始递推，逐个得到后续元素。

Java 代码

import java.util.*;

class Solution {
    public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
        List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();

        for (int i = 0; i < numRows; i++) {
            List<Integer> row = new ArrayList<>();
            long val = 1; // C(i,0)=1
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                row.add((int) val);
                // 计算下一个组合数 C(i, j+1)
                val = val * (i - j) / (j + 1);
            }
            ans.add(row);
        }

        return ans;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(numRows^2)
• 额外空间复杂度：O(1)（不计输出）
• 需注意中间计算建议用 long

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示例推演（numRows = 5）

第0行: [1]
第1行: [1, 1]
第2行: [1, 2, 1]
第3行: [1, 3, 3, 1]
第4行: [1, 4, 6, 4, 1]

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各解法实现复杂度与性能对比

解法	核心思想	时间复杂度	额外空间复杂度（不含输出）	实现复杂度	性能表现	适用场景
二维 DP 表	显式保存所有状态	O(n²)	O(n²)	低	稳定，但内存占用最高	教学、初学者理解转移
按行迭代	只依赖上一行	O(n²)	O(n)	低	综合最优，代码简洁	面试/实战首选
组合数公式	直接算 C(i,j)	O(n²)	O(1)	中	空间最省，需注意数值细节	追求数学解法、低额外空间

结论：
在这题约束下，三种都能轻松通过。推荐优先写“按行迭代”：可读性和工程实用性最好。