（A题｜支路车流量推测问题）2025年第二十二届五一数学建模竞赛（五一杯/五一赛）解题思路|完整代码论文集合

我是Tina表姐，毕业于中国人民大学，对数学建模的热爱让我在这一领域深耕多年。我的建模思路已经帮助了百余位学习者和参赛者在数学建模的道路上取得了显著的进步和成就。现在，我将这份宝贵的经验和知识凝练成一份全面的解题思路与代码论文集合，专为本次赛题设计，旨在帮助您深入理解数学建模的每一个环节。

本次五一数学建模竞赛A题可以做如下考虑 (部分公式和代码因为排版问题显示不完整，文中代码仅有部分，完整论文格式标准，包含全部代码)
（部分代码在本帖子里格式混乱，下载后格式正常）

本次赛题的第一个问题是：

问题1. 考虑图1所示的Y型道路，支路1和支路2的车流同时汇入主路3。假设仅在主路3上安装了车流量监测设备A1，每2分钟记录一次主路的车流量信息，车辆从支路汇入主路后行驶到A1处的时间忽略不计。附件表1中提供了某天早上[6:58,8:58]主路3上的车流量数据(7:00为第一个数据记录时刻，8:58是最后一个数据记录时刻，下同)。

由历史车流量观测记录可知，在[6:58,8:58]时间段内，支路1的车流量呈现线性增长趋势，支路2的车流量呈现先线性增长后线性减少的趋势。

请建立数学模型，根据附件表1的数据推测在[6:58,8:58]时间段内支路1和支路2上的车流量，并使用合适的函数关系来描述支路1、支路2的车流量随时间的变化(为方便起见，函数关系中令7:00为 , ，下同)，在表1.1中填入具体的函数表达式。

问题1的数学建模

1. 问题分析

问题1涉及一个Y型道路，支路1和支路2的车流汇入主路3。主路3上安装了车流量监测设备A1，每2分钟记录一次车流量数据。已知支路1的车流量呈现线性增长趋势，支路2的车流量呈现先线性增长后线性减少的趋势。需要根据主路3的车流量数据，推测支路1和支路2的车流量随时间的变化，并用函数表达式描述。

2. 模型假设

1. 主路3的车流量是支路1和支路2车流量的总和。

2. 支路1的车流量随时间线性增长，即 $ Q_1(t) = a_1 t + b_1 $。

3. 支路2的车流量在某个时间点 $ t_0 $ 之前线性增长，之后线性减少，即：
   $$Q_2(t)=\{\begin{array}{ll}{a}_{2}t+b_2& \text{当 }t\le t_0\\ c_{2}t+d_2& \text{当 }t>t_0\end{array}$$

4. 车辆从支路汇入主路后行驶到A1处的时间忽略不计。

3. 模型建立

主路3的车流量 $ Q_3(t) $ 可以表示为：
$$Q_3(t)=Q_1(t)+Q_2(t)$$
根据已知条件，支路1和支路2的车流量函数分别为：
$$Q_1(t)=a_{1}t+b_1$$

$$Q_2(t)=\{\begin{array}{ll}{a}_{2}t+b_2& \text{当 }t\le t_0\\ c_{2}t+d_2& \text{当 }t>t_0\end{array}$$

因此，主路3的车流量可以表示为：
$$Q_3(t)=\{\begin{array}{ll}(a_1+a_2)t+(b_1+b_2)& \text{当 }t\le t_0\\ (a_1+c_2)t+(b_1+d_2)& \text{当 }t>t_0\end{array}$$

4. 参数估计

利用附件表1中主路3的车流量数据，可以通过最小二乘法拟合 $ Q_3(t) $ 的表达式，从而估计出 $ a_1, b_1, a_2, b_2, c_2, d_2 $ 和 $ t_0 $。

5. 结果表达

根据拟合结果，填写表1.1中的函数表达式：

支路1	支路2
$ Q_1(t) = a_1 t + b_1 $	$ Q_2(t) = \begin{cases} a_2 t + b_2 & \text{当 } t \leq t_0 \ c_2 t + d_2 & \text{当 } t > t_0 \end{cases} $

6. 模型验证

通过比较模型预测的主路3车流量与实际观测数据，验证模型的准确性。如果误差较大，可以调整模型假设或参数估计方法。

总结

通过建立数学模型，利用主路3的车流量数据和已知的支路车流量变化趋势，可以推测出支路1和支路2的车流量随时间的变化，并用函数表达式描述。
对于问题1，我们需要根据主路3的车流量数据推测支路1和支路2的车流量，并使用函数关系来描述它们的车流量随时间的变化。假设主路3的车流量为 $ Q_3(t) $，支路1的车流量为 $ Q_1(t) $，支路2的车流量为 $ Q_2(t) $。根据题意，主路3的车流量是支路1和支路2的车流量之和，即：

$$Q_3(t)=Q_1(t)+Q_2(t)$$

支路1的车流量
根据题意，支路1的车流量呈现线性增长趋势，因此可以表示为：

$$Q_1(t)=a_{1}t+b_1$$

其中，$ a_1 $ 是线性增长的斜率，$ b_1 $ 是截距。

支路2的车流量
支路2的车流量呈现先线性增长后线性减少的趋势。假设在时间 $ t = t_0 $ 时，支路2的车流量达到最大值，那么在 $ t \leq t_0 $ 时，支路2的车流量为线性增长；在 $ t > t_0 $ 时，支路2的车流量为线性减少。因此，支路2的车流量可以分段表示为：

$$Q_2(t)=\{\begin{array}{ll}{a}_{2}t+b_2& \text{当 }t\le t_0\\ -c_{2}t+d_2& \text{当 }t>t_0\end{array}$$

其中，$ a_2 $ 和 $ c_2 $ 分别是增长和减少的斜率，$ b_2 $ 和 $ d_2 $ 是截距。

求解参数
根据主路3的车流量数据 $ Q_3(t) $，我们可以通过最小二乘法或其他拟合方法求解 $ a_1, b_1, a_2, b_2, c_2, d_2 $ 和 $ t_0 $ 的值。

函数表达式
最终，支路1和支路2的车流量函数表达式可以表示为：

$$Q_1(t)=a_{1}t+b_1$$

$$Q_2(t)=\{\begin{array}{ll}{a}_{2}t+b_2& \text{当 }t\le t_0\\ -c_{2}t+d_2& \text{当 }t>t_0\end{array}$$

将具体的参数值填入表1.1中即可。
要解决第一个问题，我们需要根据主路3的车流量数据，结合支路1和支路2的车流量变化趋势，推测出支路1和支路2的车流量函数表达式。以下是解决问题的步骤和相应的Python代码。

步骤1：导入数据

首先，我们需要从附件表1中导入主路3的车流量数据。假设数据已经存储在一个CSV文件中，包含两列：时间戳和车流量。

步骤2：定义时间变量

为了方便计算，我们将时间从7:00开始，以分