（E题｜AI 辅助智能体测）2025年高教杯全国大学生数学建模国赛解题思路|完整代码论文集合

我是Tina表姐，毕业于中国人民大学，对数学建模的热爱让我在这一领域深耕多年。我的建模思路已经帮助了百余位学习者和参赛者在数学建模的道路上取得了显著的进步和成就。现在，我将这份宝贵的经验和知识凝练成一份全面的解题思路与代码论文集合，专为本次赛题设计，旨在帮助您深入理解数学建模的每一个环节。
本次2025年高教杯全国大学生数学建模国赛C题可以做如下考虑 (部分公式和代码因为知乎排版问题显示不完整，文中代码仅有部分，完整论文格式标准，包含全部代码)

可视化：

问题 1

附件 1 是两位立定跳远运动者的跳远视频、位置信息和跳远成绩。其中，位置信息包含运动者在整个跳远过程中的 33 个关键节点（见附件 2）在视频不同帧的位置坐标。请确定运动者在跳远过程中的起跳和落地时刻，并描述滞空阶段（从起跳到落地）的运动过程。

这个问题要求：

1. 确定起跳时刻
2. 确定落地时刻
3. 描述滞空阶段的运动过程

需要基于AI人体姿态估计技术获得的33个关键节点在不同视频帧中的位置坐标数据来分析运动者的立定跳远动作。

问题1：立定跳远起跳和落地时刻确定及滞空阶段分析

1. 数学模型建立

1.1 问题分析

立定跳远运动可分为三个阶段：

• 准备阶段：运动者蹲下准备
• 滞空阶段：从起跳到落地
• 落地阶段：双脚接触地面

关键是识别起跳时刻和落地时刻，并分析滞空阶段的运动特征。

1.2 关键节点选择

基于人体关键节点，重点关注：

• 脚部节点：左脚踝(15)、右脚踝(16)、左脚尖(19)、右脚尖(20)
• 重心节点：髋部中心、胸部中心
• 手部节点：左手腕(9)、右手腕(10)

1.3 数学模型

1.3.1 起跳时刻确定模型

模型1：脚部离地检测法

设第t帧时，左脚踝坐标为(x₁ᵗ, y₁ᵗ)，右脚踝坐标为(x₂ᵗ, y₂ᵗ)
定义脚部高度函数：
h_foot(t) = min(y₁ᵗ, y₂ᵗ)

起跳时刻判定条件：
t_takeoff = min{t | h_foot(t) - h_foot(t-1) > δ₁ 且 Δh_foot(t) > δ₂}

其中：
- δ₁：脚部高度变化阈值
- δ₂：连续上升高度阈值
- Δh_foot(t) = h_foot(t+k) - h_foot(t-k)，k为时间窗口

模型2：垂直速度突变检测法

计算重心垂直速度：
v_y(t) = [y_center(t+1) - y_center(t-1)] / (2Δt)

其中y_center(t) = [y_hip(t) + y_chest(t)] / 2

起跳时刻判定：
t_takeoff = argmax{|v_y(t+1) - v_y(t)| | t ∈ [t_start, t_end]}

1.3.2 落地时刻确定模型

模型1：脚部触地检测法

落地时刻判定条件：
t_landing = min{t > t_takeoff | h_foot(t) ≤ h_ground + ε 且 v_y(t) < 0}

其中：
- h_ground：地面高度基准
- ε：触地容差

模型2：垂直速度零点检测法

t_landing = min{t > t_takeoff | v_y(t) ≤ 0 且 v_y(t-1) > 0}

1.3.3 滞空阶段运动分析模型

重心轨迹模型

重心坐标：
x_center(t) = [x_hip(t) + x_chest(t)] / 2
y_center(t) = [y_hip(t) + y_chest(t)] / 2

抛物线拟合：
y = ax² + bx + c

参数估计：
[a, b, c]ᵀ = (XᵀX)⁻
基于AI人体姿态估计技术的立定跳远运动分析，我将为问题1建立数学模型来确定起跳和落地时刻，并描述滞空阶段的运动过程。

问题1：起跳和落地时刻确定及滞空阶段运动过程分析

1.1 数学模型建立

设运动者在第$t$帧的人体关键节点位置为$P_i(t)=(x_i(t),y_i(t))$，其中$i=1,2,...,33$表示33个关键节点。

重心计算模型：
$$\vec{G}(t)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{w}_i\cdot P_i(t)$$

其中$w_i$为第$i$个关键点的权重系数，$N=33$为关键点总数。

垂直速度计算模型：
$$v_y(t)=\frac{G_y(t+1)-G_y}{2\Delta t}$$