bzoj 1036 树的统计Count（树链剖分）

最新推荐文章于 2023-03-02 16:21:48 发布

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#树链剖分

本文介绍了一种针对树形结构的高效算法实现方法，通过重链剖分技术结合线段树进行节点权值的更新与查询操作。适用于解决大规模树状数据集上的问题，如节点权值更改、路径最大权值及路径权值之和等。

1036: [ZJOI2008]树的统计Count

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Description

　　一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成
一些操作： I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值 I
II. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

Input

　　输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有
一条边相连。接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。接下来1行，为一个整数q，表示操作
的总数。接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。
对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

Output

　　对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

Sample Input

4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4

Sample Output

4
1
2
2
10
6
5
6
5
16

思路：

一年前看这个的时候，感觉代码实在太难写了。现在回头再看却觉得不过如此。

可能是写过一些dfs序+数据结构维护的题，再看这个算法就觉得好接受多了。

其实就是将树上的节点分成重链和轻链对应到线段树上去维护。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define lson i<<1,l,mid
#define rson i<<1|1,mid+1,r
using namespace std;
const int maxn=3e4+5;
const int inf=0x7fffffff;
int n,q,cnt,sz,u,v,t,ans;
int fa[maxn][15],val[maxn],deep[maxn],siz[maxn],head[maxn];
int pos[maxn],belong[maxn];//pos是在线段树中的位置，belong为结点在树中的链的顶端节点
char str[10];
struct data
{
    int to,next;
}e[maxn*2];
struct node
{
    int mx,sum;
}tr[maxn*4];
void add(int u,int v)
{
    ++cnt;
    e[cnt].to=v;
    e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
}
void dfs1(int x,int f)//确定各个点的子树大小，深度，和各个节点的父亲。
{
    siz[x]=1;
    for(int i=1;i<=14;i++)
    {
        if(deep[x]<(1<<i)) break;
        fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
    }
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
    {
        if(e[i].to==f) continue;
        deep[e[i].to]=deep[x]+1;
        fa[e[i].to][0]=x;
        dfs1(e[i].to,x);
        siz[x]+=siz[e[i].to];
    }
}
void dfs2(int x,int chain)//分配重链和轻链
{
    int k=0;
    sz++;
    pos[x]=sz;//pos为该节点在线段树中的位置
    belong[x]=chain;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
    {
        if(deep[e[i].to]>deep[x]&&siz[e[i].to]>siz[k])
            k=e[i].to;
    }
    if(k==0) return;//如果找不到说明为叶子节点了。
    dfs2(k,chain);//走重链
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)//其他节点走轻链
    {
        if(deep[e[i].to]>deep[x]&&e[i].to!=k)
            dfs2(e[i].to,e[i].to);
    }
}
int lca(int x,int y)
{
    if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
    int t=deep[x]-deep[y];
    for(int i=0;i<=14;i++)//利用二进制快速将x移到和y同一层深度
        if(t&(1<<i)) x=fa[x][i];
    for(int i=14;i>=0;i--)
    {
        if(fa[x][i]!=fa[y][i])
        {
            x=fa[x][i];
            y=fa[y][i];
        }
    }
    if(x==y) return x;
    else return fa[x][0];
}
void build(int i,int l,int r)
{
    tr[i].mx=tr[i].sum=0;
    if(l==r)
        return;
    int mid=(l+r)/2;
    build(lson);
    build(rson);
}
void update(int i,int l,int r,int x,int y)
{
    if(l==r)
    {
        tr[i].mx=tr[i].sum=y;
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(x<=mid) update(lson,x,y);
    else update(rson,x,y);
    tr[i].sum=tr[2*i].sum+tr[2*i+1].sum;
    tr[i].mx=max(tr[2*i].mx,tr[2*i+1].mx);
}
int querysum(int i,int l,int r,int x,int y)
{
    int sum=0;
    if(x<=l&&r<=y)
    {
        return tr[i].sum;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(x<=mid) sum+=querysum(lson,x,y);
    if(y>mid) sum+=querysum(rson,x,y);
    return sum;
}
int querymx(int i,int l,int r,int x,int y)
{
    int mx=-inf;
    if(x<=l&&r<=y)
    {
        return tr[i].mx;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(x<=mid) mx=max(mx,querymx(lson,x,y));
    if(y>mid) mx=max(mx,querymx(rson,x,y));
    return mx;
}
int solvesum(int x,int f)
{
    int sum=0;
    while(belong[x]!=belong[f])
    {
        sum+=querysum(1,1,n,pos[belong[x]],pos[x]);
        x=fa[belong[x]][0];
    }
    sum+=querysum(1,1,n,pos[f],pos[x]);
    return sum;
}
int solvemx(int x,int f)
{
    int mx=-inf;
    while(belong[x]!=belong[f])
    {
        mx=max(mx,querymx(1,1,n,pos[belong[x]],pos[x]));
        x=fa[belong[x]][0];
    }
    mx=max(mx,querymx(1,1,n,pos[f],pos[x]));
    return mx;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    dfs1(1,0);
    dfs2(1,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&val[i]);
        update(1,1,n,pos[i],val[i]);
    }
    scanf("%d",&q);
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        scanf("%s",str);
        if(str[1]=='M')
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            t=lca(u,v);
            ans=max(solvemx(u,t),solvemx(v,t));
            printf("%d\n",ans);
        }
        if(str[1]=='S')
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            t=lca(u,v);
            ans=solvesum(u,t)+solvesum(v,t)-val[t];
            printf("%d\n",ans);
        }
        if(str[1]=='H')
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            update(1,1,n,pos[u],v);
            val[u]=v;
        }
    }

    return 0;
}