洛谷 P1966 火柴排队（树状数组求逆序）_美丽火柴中相邻两根火柴的位置都可以召唤请你通过交换使得两列火车之间的距离最小-优快云博客

题目描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 nn 根火柴，每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为： $\sum (a_i-b_i)^2∑(ai−bi)2$

其中 a_iai 表示第一列火柴中第 ii 个火柴的高度， b_ibi 表示第二列火柴中第 ii 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,99799,999,997 取模的结果。

输入输出格式

输入格式：

共三行，第一行包含一个整数 nn ，表示每盒中火柴的数目。

第二行有 nn 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 nn 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出格式：

一个整数，表示最少交换次数对 99,999,99799,999,997 取模的结果。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4
2 3 1 4
3 2 1 4

输出样例#1： 复制

输入样例#2： 复制

4
1 3 4 2
1 7 2 4

输出样例#2： 复制

说明

【输入输出样例说明1】

最小距离是 0 ，最少需要交换 1次，比如：交换第 1列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。

【输入输出样例说明2】

最小距离是 10 ，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。

【数据范围】

对于 10% 的数据， 1 ≤ n ≤ 101≤n≤10 ；

对于 30% 的数据， 1 ≤ n ≤ 1001≤n≤100 ；

对于 60% 的数据， 1 ≤ n ≤ 1,0001≤n≤1,000 ；

对于 100% 的数据， 1 ≤ n ≤ 100,000,0 ≤1≤n≤100,000,0≤ 火柴高度 ≤ maxlongint≤maxlongint

思路：

首先对这个式子进行分析。

最后要使 $\sum (a_i-b_i)^2∑(ai−bi)2$ 这个最小，我们可以先对 $a1,a2,b1,b2$ 来进行分析。

假设原始数列为：

$a1,a2$

$b1,b2$

我们如果使得交换之后更优，即 $(a1-b1)^2+(a2-b2)^2>(a1-b2)^2+(a2-b1)^2$

将这个式子进行简单的化简之后可以得到

$a1(b1-b2)<a2(b1-b2)$

当 $b1-b2>0$ 时，即

$b1>b2,a1<a2$ 此时交换a1,a2更优

当 $b1-b2<0$ 时，即

$b1<b2,a1>a2$ 此时交换a1,a2更优

综上可以发现，最优的答案就是两个数组从小到大排序之后， $\sum (a_i-b_i)^2∑(ai−bi)2$ 这个是最优的。

但是要使得交换次数最少，就不能这样了。

我们可以发现，这个答案其实是把a数组的数构造成与b数组一样在第i位置的数在自己的数组中是一样的第K大。

所以我们只要构造出这样的数组求出逆序对，逆序对的大小就是a数组变成成与b数组一样第i位置第K大的交换次数。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+5;
const int mod=99999997;
ll a[maxn];
ll b[maxn];
int d[maxn];
struct node
{
    ll v;
    int id;
}q[maxn],p[maxn];
bool cmp(node a,node b)
{
    return a.v<b.v;
}
int lowbit(int i)
{
    return i&(-i);
}
void update(int x,ll *c)
{
    while(x<maxn)
    {
        c[x]++;
        c[x]%=mod;
        x+=lowbit(x);
    }
}
ll query(int x,ll *c)
{
    ll ans=0;
    while(x)
    {
        ans+=c[x];
        ans%=mod;
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&q[i].v);
        q[i].id=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&p[i].v);
        p[i].id=i;
    }
    sort(q+1,q+1+n,cmp);
    sort(p+1,p+1+n,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        d[q[i].id]=p[i].id;//构造出这样的数组
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        update(d[i],a);
        ll a1=i-query(d[i],a);
        ans=(ans+a1)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}