PAT 1019 General Palindromic Number [进制转换] [回文]

本文探讨了回文数的概念及其在不同进制下的性质,通过实例解释了如何判断一个十进制正整数在特定进制下是否为回文数,并提供了C语言实现的代码示例。

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A number that will be the same when it is written forwards or backwards is known as a Palindromic Number. For example, 1234321 is a palindromic number. All single digit numbers are palindromic numbers.

Although palindromic numbers are most often considered in the decimal system, the concept of palindromicity can be applied to the natural numbers in any numeral system. Consider a number N>0 in base b≥2, where it is written in standard notation with k+1 digits a​i​​as ∑​i=0​k​​(a​i​​b​i​​). Here, as usual, 0≤a​i​​<b for all i and a​k​​ is non-zero. Then N is palindromic if and only if a​i​​=a​k−i​​ for all i. Zero is written 0 in any base and is also palindromic by definition.

Given any positive decimal integer N and a base b, you are supposed to tell if N is a palindromic number in base b.

Input Specification:

Each input file contains one test case. Each case consists of two positive numbers N and b, where 0<N≤10​9​​ is the decimal number and 2≤b≤10​9​​ is the base. The numbers are separated by a space.

Output Specification:

For each test case, first print in one line Yes if N is a palindromic number in base b, or No if not. Then in the next line, print N as the number in base b in the form "a​k​​ a​k−1​​ ... a​0​​". Notice that there must be no extra space at the end of output.

Sample Input 1:

27 2

Sample Output 1:

Yes
1 1 0 1 1

Sample Input 2:

121 5

Sample Output 2:

No
4 4 1

我的代码:

 题目看了半天才反应过来是进制转换的问题 = = 

#include<stdio.h>

int main()
{
	int n,b,i,a[1000];
	scanf("%d%d",&n,&b);
	int count = 0;
	for(;;)
	{
		a[count++] = n%b;
		n /= b;
		if(n==0) break;
	}
	int flag = 0;
	for(i=0;i<count;i++)
	{
		if(a[i]!=a[count-1-i])
		{
			flag = 1;
			break;
		}
	}
	if(flag) printf("No\n");
	else printf("Yes\n");
	for(i=count-1;i>0;i--)
	    printf("%d ",a[i]);
    printf("%d",a[0]);
} 

 

<think>根据问题描述,我们需要统计1到N之间所有整数x,满足x的平方在M进制下是回文数的个数。 回文数是指正着读和倒着读都一样的字符串(在M进制表示下)。 我们可以采取以下步骤: 1. 遍历1到N的每个整数x。 2. 计算x的平方:num = x * x。 3. 将num转换为M进制表示的字符串。 4. 判断该字符串是否是回文串。 5. 统计满足条件的x的个数。 注意:进制转换时,大于9的数字需要用字母表示,通常用大写字母(如A表示10,B表示11,...,Z表示35,一般M<=36)。 另外,由于N可能很大,我们需要考虑效率。但是题目没有给出N的范围,我们假设N不会太大(例如不超过10^6),因为平方之后数字会很大,但进制转换回文判断都是线性时间,所以如果N很大(比如10^6)则平方后数字有10^12,进制转换最多36进制,位数不会太多(大约20多位),所以可以接受。 但是,如果N非常大(比如10^9),那么平方后数字达到10^18,在36进制下大约13位,也是可以接受的。不过我们需要考虑程序运行时间,遍历10^9个数显然是不现实的。因此,我们需要进一步分析问题的规模。 然而,题目没有给出N的范围,但根据实际回文数的稀疏性,我们可以先写一个适用于中等规模N的程序(比如N<=1000000)。如果N很大,可能需要寻找数学规律或者更高效的方法,但题目没有特别说明,我们先按照一般方法。 步骤: 1. 编写一个函数将十进制数转换为M进制字符串(用0-9和A-Z表示,假设M<=36)。 2. 编写一个函数判断字符串是否为回文串。 3. 遍历1到N,对每个数计算平方,然后转换为M进制字符串,再判断回文。 注意:当N很大时,循环N次可能比较慢。但是题目没有给出N的范围,我们只能假设N在可接受范围内(比如10^6以内)。如果N很大,我们可以考虑并行或者优化,但这里先不考虑。 另外,平方后的数可能会很大,所以用long long(C++)或Python的整数(自动大整数)来存储。 由于用户没有指定编程语言,这里我选择用C++和Python两种语言实现。 但是,题目要求输出的是满足条件的整数的个数,而不是列出这些整数。 下面分别用C++和Python实现: C++实现: 注意:N和M由用户输入,输出一个整数表示个数。 由于平方后数字可能很大,我们用long long存储平方(当N<=10^9时,平方最大为10^18,long long最大为9e18,所以可以)。 但是,如果N超过10^9,那么平方会超过long long的范围(在C++中,我们可以使用unsigned long long,最大约1.8e19,所以N最大可以到4e9左右)。但题目没有说明,我们假设N在可接受范围内。 步骤: 1. 输入N, M。 2. 初始化计数器count=0。 3. 对于i从1到N: num = i * i (注意:i要用long long,因为i*i可能很大) 将num转换为M进制的字符串。 判断该字符串是否为回文,如果是,则count++。 4. 输出count。 但是,如果N很大(比如10^9),循环10^9次,每次进行进制转换(最多几十位)和回文判断(最多几十次比较),那么总操作次数大约是10^9 * (进制转换位数)(假设进制转换位数最多50,那么就是500亿次操作),在普通计算机上可能几十分钟甚至更久。所以我们需要优化。 优化思路:目前没有特别好的优化方法,因为回文数的分布没有明显规律。但我们可以尝试并行计算,或者使用更快的进制转换(但复杂度不变)。如果N特别大,可能需要数论方法,但这超出了本题范围。 因此,我们假设N在10^6以内,这样总操作次数在10^6 * 50 = 5e7,可以接受。 如果用户需要处理更大的N,我们可以考虑使用多线程或者寻找数学规律(但题目没有要求,我们先按照常规做法)。 下面给出C++代码(适用于N<=10^6):</think>要统计 1 到 N 中整数的平方在 M 进制下表示为回文数的数量,可以按照以下步骤实现: ### 算法思路 1. **遍历整数**:检查 1 到 N 的每个整数 $x$ 2. **计算平方**:计算 $x^2$ 3. **进制转换**:将 $x^2$ 转换为 M 进制字符串 4. **回文判断**:检查转换后的字符串是否为回文 5. **统计数量**:满足条件的 $x$ 计入总数 ### 代码实现(Python) ```python def convert_base(num, base): """将十进制数转换为M进制字符串""" if num == 0: return "0" digits = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ" result = [] while num: num, rem = divmod(num, base) result.append(digits[rem]) return "".join(reversed(result)) def is_palindrome(s): """判断字符串是否为回文""" return s == s[::-1] def count_palindromic_squares(N, M): """统计满足条件的整数数量""" count = 0 for x in range(1, N + 1): square = x * x base_str = convert_base(square, M) if is_palindrome(base_str): count += 1 return count # 示例使用 N = 1000 # 替换为实际N值 M = 16 # 替换为实际M值 result = count_palindromic_squares(N, M) print(f"1到{N}中平方在{M}进制下为回文数的整数数量: {result}") ``` ### 代码实现(C++) ```cpp #include <iostream> #include <string> #include <algorithm> using namespace std; // 进制转换函数 string convert_base(long long num, int base) { if (num == 0) return "0"; const char digits[] = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"; string result; while (num) { result += digits[num % base]; num /= base; } reverse(result.begin(), result.end()); return result; } // 回文判断函数 bool is_palindrome(const string& s) { return equal(s.begin(), s.begin() + s.size()/2, s.rbegin()); } // 主统计函数 int count_palindromic_squares(int N, int M) { int count = 0; for (int x = 1; x <= N; ++x) { long long square = 1LL * x * x; string base_str = convert_base(square, M); if (is_palindrome(base_str)) { ++count; } } return count; } int main() { int N = 1000; // 替换为实际N值 int M = 16; // 替换为实际M值 int result = count_palindromic_squares(N, M); cout << "1到" << N << "中平方在" << M << "进制下为回文数的整数数量: " << result << endl; return 0; } ``` ### 关键点说明 1. **进制转换**:使用除 M 取余法,支持 2-36 进制 2. **回文判断**:通过比较正反字符串实现 3. **大数处理**:使用 `long long` 类型存储平方值防止溢出 4. **字符映射**:大于 9 的数字用 A-Z 表示 ### 性能分析 - **时间复杂度**:$O(N \log M (x^2))$,其中 $N$ 为整数上限,$M$ 为进制 - **空间复杂度**:$O(\log M (x^2))$,存储进制转换结果 - **优化建议**:当 $N > 10^6$ 时,可考虑并行计算或数学优化 ### 相关问题 1. 如何优化算法以处理更大的 $N$ 值(如 $N > 10^8$)?[^2] 2. 是否存在不需要遍历所有数字的数学方法来判断回文平方数?[^5] 3. 当 $M > 36$ 时,如何扩展字符映射范围?[^3] 4. 如何同时输出满足条件的整数及其平方的 M 进制表示?[^1] 5. 在分布式系统中如何实现该算法的并行计算?[^4] [^1]: 参考回文平方数的基本枚举方法 [^2]: 涉及进制转换算法的优化 [^3]: 参考 Python 中的字符映射实现 [^4]: 大规模数据处理的相关技术 [^5]: 完全平方回文数的数学特性
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