【每日一题Day242】LC1262可被三整除的最大和 | 贪心 dp

可被三整除的最大和【LC1262】

给你一个整数数组 nums，请你找出并返回能被三整除的元素最大和。

• 思路

  题目要求求出能被3整除的最大和，那么我们可以记录每种余数对应的最大和【贪心，相同余数的情况下取最大值】，那么答案即为val[0]。枚举每一个数，将其与目前的最大和相加得到三个可能的答案，然后存入数组中记录最大值

• 实现

  class Solution {
      public int maxSumDivThree(int[] nums) {
          // 哈希表
          int[] val = new int[3];// 记录余数对应的最大和->那么答案即为val[0]
          for (int num : nums){  
              int a = val[0] + num;
              int b = val[1] + num;
              int c = val[2] + num;
              val[a % 3] = Math.max(a, val[a % 3]);
              val[b % 3] = Math.max(b, val[b % 3]);
              val[c % 3] = Math.max(c, val[c % 3]);
          }
          return val[0];
      }
  }
  

  • 复杂度分析

    • 时间复杂度：$O(n)$
    • 空间复杂度：$O(1)$

dp：选或不选

• 思路：选或不选

  • 子问题：

    • 选$x=nums[n-1]$，那么问题变为在$nums[:n-2]$中选择最大的x数之和$a$使其与$nums[n-1]$之和能够整除3【$a$和$x$的对三取余为0，那么$(a+x)\%3==0$->$a\%3=(0-x)\%3$】
    • 不选$nums[n-1]$，那么问题变为在$nums[:n-2]$中选择最大的x数之和能够整除3
    • 这是一个和原问题相似的子问题，因此我们可以用递归/dp解决。
    • 递归的过程中有两个变量：元素范围以及和的余数值，因此在记忆化需要用二维memo记录这两个变量固定时对应的值

  • 递归函数定义：定义$dfs(i，j)$为从$nums[0]$至$nums[i]$中选数，**所选数字之和对3取模为$j$**时的最大和，那么$dfs(n-1，0)$即为答案。

  • 状态转移：

    • 选$x$，问题变为从$nums[0]$至$nums[i-1]$中选数，所选数字之和对3取模为$j$时的最大和
    • 不选$x$，问题变为从$nums[0]$至$nums[i-1]$中选数，所选数字之和对3取模为$(j+x)\%3$时的最大和

    取最大值返回
    $$dfs(i,j)=max(dfs(i-1,j),dfs(i-1,(j+x)\%3+nums[i]))$$

  • 递归边界

    • $dfs(-1,0)=0$
    • $dfs(-1,1)=-\infty$
    • $dfs(-1,2)=-\infty$

• 实现

  class Solution {
      public int maxSumDivThree(int[] nums) {
          int n = nums.length;
          var memo = new int[n][3];
          for (int i = 0; i < n; i++)
              Arrays.fill(memo[i], -1); // -1 表示没有计算过
          return dfs(memo, nums, n - 1, 0);
      }
  
      private int dfs(int[][] memo, int[] nums, int i, int j) {
          if (i < 0) return j == 0 ? 0 : Integer.MIN_VALUE;
          if (memo[i][j] != -1) return memo[i][j]; // 之前计算过
          return memo[i][j] = Math.max(dfs(memo, nums, i - 1, j),
                  dfs(memo, nums, i - 1, (j + nums[i]) % 3) + nums[i]);
      }
  }
  
  作者：灵茶山艾府
  链接：https://leetcode.cn/problems/greatest-sum-divisible-by-three/solutions/2313700/liang-chong-suan-fa-tan-xin-dong-tai-gui-tsll/
  来源：力扣（LeetCode）
  著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
  

• 递推

  扩展一维找到边界

  class Solution {
      public int maxSumDivThree(int[] nums) {
          int n = nums.length;
          var f = new int[n + 1][3];
          f[0][1] = f[0][2] = Integer.MIN_VALUE;
          for (int i = 0; i < n; i++)
              for (int j = 0; j < 3; j++)
                  f[i + 1][j] = Math.max(f[i][j], f[i][(j + nums[i]) % 3] + nums[i]);
          return f[n][0];
      }
  }
  
  作者：灵茶山艾府
  链接：https://leetcode.cn/problems/greatest-sum-divisible-by-three/solutions/2313700/liang-chong-suan-fa-tan-xin-dong-tai-gui-tsll/
  来源：力扣（LeetCode）
  著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。