阶与原根学习笔记

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#数论 #阶 #原根

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本文介绍了数论中阶的概念，包括定义、性质及求解方法，并探讨了原根的定义、特性，特别是指出只有特定形式的数m才存在原根。还提及了求原根的算法，以及10000000以内阶超过100的四个数及其原根。

1.阶的定义：

（a,m）=1，则最小的正整数r使得a^r=1(mod m) 为a模m的阶。（这玩意a好像可是负的。。）

2.阶的性质：

r | φ(m) 。(可用反证法，假设不整除，则……)

3.求阶：(虽然我还不知道这玩意有啥用)

给定互质的a,m，求a模m的阶：

4.原根定义：

若a模m的原根为φ(m)，则a为m的一个原根。

5.原根性质：

特别注意：只有m=2，4，p^a，2·p^a时m才有原根（p为奇素数，a≥1）

证明：(太弱了，努力学习中。。)

6.求原根：

首先需要判断一下m是否存在原根（程序中略去，且m仍为奇素数）；

然后从2开始枚举每一个与m互质的数，看他模m的阶是否等于φ(m)。

充要条件是：对于正在枚举的i，和φ(m)的每一个不同的质因子p：都有 i^( φ(m)/p )mod m≠1，则i就是m的一个原根！（m的质因数需要预处理出来）

一般原根都会很小，时间复杂度可以理解为O（√m+k·log（m）^2），√m为预处理，k为检验的次数

经测试：10000000以内的数只有：

6252122 101
6497402 115
6933362 113
7871018 101

这四个数的原根大于了100。。

程序中vis[ ]是线性筛素数的bool数组，vis[i]=1表示i非素数。

int pow(int x,int y,int p)
{
	int ret=1,now=x;
	for(;y;y>>=1,now=1ll*now*now%p)
		if(y&1)ret=1ll*ret*now%p;
	return ret;
}
int Find_Root(int m,int phi_m)//if m has no root,then return 0
{
	if(vis[m]&&(m%2==1||vis[m/2]))return 0;
	int cnt=0,lim=int(sqrt(phi_m)),now=phi_m;
	for(int i=2;i<=lim;i++)
		if(now%i==0)
		{
			tempri[++cnt]=i;
			while(!(now%i))now/=i;
		}	if(now>1)tempri[++cnt]=now;
		
	for(int i=1;;i++)
	{
		bool flag=1;
		for(int j=1;j<=cnt;j++)	
			if(pow(i,phi_m/tempri[j],m)<=1){flag=0;break;}
		if(flag&&pow(i,phi_m,m)==1)return i;
	}
	return 0; 
}