UVa 10870 Recurrences (矩阵快速幂)_o(d3log(d))-优快云博客

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本文解析了UVa10870Recurrences问题，并通过矩阵快速幂的方法实现高效的递推计算。介绍了如何利用矩阵乘法及快速幂算法降低时间复杂度。

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UVa 10870 Recurrences

题目大意:

$f(n)=a_{1}f(n-1)+a_{2}f(n-2)+a_{3}f(n-3)+...+a_{d}f(n-d)$ .
给出 $a_{1}$ ~ $a_{d}$ , $f(1)$ ~ $f(d)$ , $n$ , $m$ ,求 $f(n)\%m$ .
( $1\leq d \leq 15,1\leq n \leq 2^{31}-1,1\leq m \leq 46340$ )

题目分析:

若选择递推计算的话,时间复杂度为 $O(nd)$ ,显然会超时.
现在已知 $f(n)$ 的递推式,则可以构造矩阵

A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 000 a d 100 a d - 1 010 a d - 2 001 . . . a d - 3 . . . . . . . . . . . . 000 a 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, F n = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ f (n - d) . . . f (n - 2) f (n - 1) f (n) ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & ... & 0\\ & & & ... & & \\ a_{d} & a_{d-1} & a_{d-2} & a_{d-3} & ... & a_{1} \end{bmatrix}, F_{n}= \begin{bmatrix} f(n-d)\\ ...\\ f(n-2)\\ f(n-1)\\ f(n) \end{bmatrix}$

F n = A \times F n - 1

$F_{n}=A \times F_{n-1}$

F n = A n - d \times F d

$F_{n}=A^{n-d} \times F_{d}$

那么现在只需要算出 $A^{n-d}$ 即可,可以用快速幂加速,时间复杂度为 $O(d^3log(n-d))$

代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=20;

int d,n,MOD;

struct Matrix {//定义结构体Matrix,重载乘法运算符,便于计算 
    int n,m;
    ll M[maxn][maxn];
    Matrix(){memset(M,0,sizeof(M));n=m=0;}
    Matrix(int n,int m):n(n),m(m){memset(M,0,sizeof(M));}
    Matrix operator * (const Matrix& rhs) const {
        Matrix ret(n,rhs.m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=rhs.m;j++) {
                for(int k=1;k<=m;k++)
                    ret.M[i][j]+=M[i][k]*rhs.M[k][j];
                ret.M[i][j]%=MOD;
            }
        return ret;
    }
    Matrix operator *= (const Matrix& rhs) {
        return *this=*this*rhs;
    }
};

Matrix qpow(Matrix x,int y)//矩阵快速幂 
{
    Matrix ret(x.n,x.m);
    for(int i=1;i<=ret.n;i++) ret.M[i][i]=1;
    while(y>0) {
        if(y&1) ret*=x;
        x*=x;y>>=1;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d%d",&d,&n,&MOD)==3&&d) {
        Matrix A(d,d),F(d,1);
        for(int i=1;i<d;i++) A.M[i][i+1]=1;
        for(int i=d;i>=1;i--) scanf("%lld",&A.M[d][i]),A.M[d][i]%=MOD;//注意系数a是倒着存放的 
        for(int i=1;i<=d;i++) scanf("%lld",&F.M[i][1]),F.M[i][1]%=MOD;
        A=qpow(A,n-d);
        F=A*F;
        printf("%lld\n",F.M[d][1]);
    }
    return 0;
}